《函数的概念》（第一课时）教学设计

一、内容和内容解析

1. 内容

本节课的核心内容是函数概念的抽象与形式化定义，具体包括：

• • 从四个典型实例（复兴号列车行程问题、工资问题、空气质量指数问题、恩格尔系数问题）中抽象概括函数的共同特征；
• • 形成函数的形式化定义：设 ， 是非空的实数集，如果对于集合  中的任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在集合  中都有唯一确定的数  和它对应，那么就称  为从集合  到集合  的一个函数，记作 ，；
• • 理解函数的三个要素：定义域、对应关系、值域；
• • 能判断两个函数是否相同，能求简单函数的定义域和值域，能用函数的定义描述具体函数。

2. 内容解析

函数是贯穿高中数学课程的一条主线，是描述客观世界中变量之间对应关系的重要数学模型。初中阶段，学生已经从变量之间的关系角度初步认识了函数（变量说），知道“在一个变化过程中，如果有两个变量  与 ，并且对于  的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么  是自变量， 是  的函数”。然而，初中函数概念基于“变量说”，依赖于对运动变化过程的直观感知，在处理一些抽象的函数关系（如分段函数、抽象对应关系）时存在局限。

本节课在初中函数概念的基础上，通过丰富的实例，引导学生从集合之间的对应关系这一全新视角来审视函数，将函数从一个“变化过程”提升为一种“对应关系”，建立起函数概念的“对应说”定义。这一抽象过程实现了从“变量说”到“对应说”的飞跃，使学生能够更精确、更一般地刻画函数概念，也为后续学习函数的表示法、单调性、奇偶性、指数函数、对数函数、三角函数等内容奠定坚实的理论基础。

《普通高中数学课程标准（2017年版）》要求“用集合语言和对应关系刻画函数概念，理解函数的三要素”。因此，本节课不是简单复述初中定义，而是通过“问题—思考—探究—抽象”的过程，帮助学生完成函数概念的认知升级，发展数学抽象、逻辑推理和数学建模素养。

3. 知识联系与上下位关系

• • 上位知识：集合与常用逻辑用语（必修第一册第一章）——函数是集合之间的一种特殊对应关系，定义域、值域均为数集。
• • 下位知识：函数的表示法（3.1.2，解析法、图象法、列表法）、函数的基本性质（3.2，单调性、奇偶性）、幂函数（3.3）、指数函数与对数函数（第四章）、三角函数（第五章）。
• • 并列知识：映射概念（选修内容，函数是映射的特殊情形）。
• • 学科地位：函数是高中数学的核心概念之一，是贯穿高中数学课程的主线。函数思想是四大数学思想之一，本节课从“对应说”的角度重新定义函数，是学生数学认知结构的一次重大升级。

二、目标和目标解析

教学目标

依据《普通高中数学课程标准（2017年版）》的要求，结合本节课内容特点，制定如下三维教学目标：

• • 知识目标：理解函数的概念，能准确叙述函数的集合对应定义，理解函数定义域、值域、对应关系三要素的含义。知道函数的三要素是确定函数的关键，能判断两个函数是否相同。
• • 技能目标：能从实际情境中抽象出函数关系，并能用函数的集合对应定义进行精确刻画。能求简单函数的定义域和值域，能用函数的定义描述具体函数。
• • 素养目标：经历从具体实例中抽象概括函数共同特征的过程，提升数学抽象素养；在辨析概念、判断函数是否相同的过程中，提升逻辑推理素养；在构建问题情境描述函数关系的过程中，提升数学建模素养。

目标解析

目标1的达成标志：学生能用自己的语言复述函数的“对应说”定义，能准确说出定义域、值域、对应关系的含义；能判断两个函数是否相同（如能够判断  与  不同，并说明理由）。

目标2的达成标志：学生能完成教科书问题1至问题4中对函数关系的精确刻画，即能用“数集  中的任一 ，按照对应关系 ，在数集  中都有唯一确定的  与之对应”的格式来描述给定函数；能求函数 （）的定义域和值域。

目标3的达成标志：学生在教师的引导下，能主动参与从问题1至问题4中抽象函数共同特征的活动，能用自己的语言概括函数的本质特征；在例题讲解和课堂练习中，能独立构建问题情境使变量关系满足给定的解析式；在判断函数是否相同的讨论中，能基于定义进行有条理的推理。

三、教学重难点

教学重点

函数概念的形成过程，即从具体实例中抽象概括函数共同特征的过程，以及函数“对应说”定义的理解与运用。

教学难点

• • 从“变量说”到“对应说”的认知跨越：初中函数概念强调“一个变化过程”，而高中函数概念强调“两个数集之间的对应关系”。学生需要打破原有的认知框架，从更抽象、更一般的视角理解函数。
• • 对函数符号  的理解：学生容易将  误解为“ 乘以 ”，也容易忽略“”这一重要条件。需要让学生理解  是对应关系， 是  在  下的函数值。
• • 对“值域是集合  的子集”的理解：学生可能认为值域就是集合  本身，不理解为什么值域只是  的子集。

四、教学问题诊断分析

1. 认知基础

学生在初中已经学习了函数的变量说定义，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型。学生已经学习了集合的概念与表示方法（第一章内容），具备用集合语言表达数学对象的基础。学生熟悉正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数等基本初等函数。

2. 潜在困难

• • 困难一：对函数概念抽象程度提升的不适应。初中函数概念基于“运动变化”的直观背景，而高中函数概念抽象为“两个数集之间的对应关系”，抽象程度显著提高。学生可能觉得定义过于形式化，理解不了为什么要这样定义。
• • 困难二：对对应关系  的理解存在偏差。学生可能将  仅理解为解析式，而忽视图象、表格等也是对应关系的表示方法。学生可能分不清  与  的区别与联系。
• • 困难三：对函数三要素的把握不准确。学生容易忽视定义域的重要性，或者混淆值域与集合  的关系（值域是  的子集，不一定等于 ）。
• • 困难四：判断两个函数是否相同的方法不清晰。学生在判断  与  是否相同时，可能仅从解析式形式上判断，而忽略了定义域的不同。

3. 突破策略

• • 策略一：通过问题1和问题2的对比（对应关系相同但定义域不同），制造认知冲突，使学生感受到仅用“变量说”无法完全刻画函数的本质，从而激发学习新定义的需要。
• • 策略二：在概念形成过程中，多次组织学生进行“归纳共同特征”的活动，引导学生自发地用“数集”“任意一个”“唯一确定”等关键词描述函数的本质特征。
• • 策略三：在概念辨析环节，设计判断两个函数是否相同的问题（ 与 ），引导学生在讨论中明确：函数的本质由定义域和对应关系决定，值域是由定义域和对应关系派生出来的。
• • 策略四：在例题教学和课堂练习中，强调用函数的定义（三个要素）来刻画函数，将“求定义域、值域”与“用定义描述函数”结合起来。
• • 策略五：用“加工机器”比喻对应关系 ：输入 ，经过  加工，输出 ；用“集合图”直观展示定义域 、对应关系 、值域与集合  的关系。

五、教学过程设计

【环节一】创设情境，引入新课（约5分钟）

设计意图：

• • 激活学生已有的函数概念（“变量说”），为新课学习做好知识铺垫。
• • 通过两个问题的追问制造认知冲突，使学生体会到已有函数概念的局限性，从而产生学习新概念的迫切需求。
• • 引导学生从“变量的变化范围”的角度思考问题，为本节课用集合语言刻画函数奠定基础。

师生活动：

问题1：在初中我们已经学习过函数的概念，请同学们回忆：什么是函数？你能举出一个具体的函数例子吗？

预设：学生回答初中函数定义（变量说），并举出如 、、 等例子。

追问1：正方形的周长  与边长  的对应关系是 ，而且对于每一个确定的  都有唯一的  与之对应，所以  是  的函数。这个函数和正比例函数  相同吗？

预设：学生可能回答“相同”或“不同”，意见不一。教师引导：从形式上看， 与  的解析式一样，但  表示周长， 表示边长， 的取值范围有限制（），所以它们貌似相同，实则不同。

追问2：你能用已有的函数知识判断  与  是否相同吗？

预设：学生利用初中知识可能认为它们相同（化简后都是 ），也可能注意到  不能为0。教师引导：要准确回答这些问题，就需要进一步学习函数概念。

教师总结：同学们产生的这些疑问，恰恰说明我们对函数概念的认识还不够精确、不够深刻。今天我们就来更精确地学习函数的概念。（板书课题：3.1.1 函数的概念）

【环节二】师生互动，探究新知（约18分钟）

设计意图：

• • 通过“问题串”驱动，引导学生逐一分析四个典型实例，从不同角度（解析式、表格、图象）感受函数关系的多样性。
• • 引导学生在分析每个问题时，有意识地关注“变量的取值范围”和“对应关系”，为后续抽象概括函数的共同特征积累素材。
• • 在归纳共同特征的基础上，师生共同抽象出函数的形式化定义，完成从“变量说”到“对应说”的跨越。

师生活动：

问题2：某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程 （单位：km）与运行时间 （单位：h）的关系可以表示为 。这里， 是  的函数吗？

预设：学生回答是的。

追问1：请思考：有人说“根据对应关系 ，这趟列车加速到350 km/h后，运行1 h就前进了350 km。”你认为这个说法正确吗？

预设：学生经过思考会发现，题目条件限定了“运行半小时”， 的变化范围是 ， 根本不在这个范围内，所以说法不正确。

追问2：为什么会出现这样的错误？问题出在哪里？

预设：学生发现：问题出在没有关注  的变化范围。

教师引导：很好！在研究函数时，我们不能只说“有一个解析式”，还必须明确自变量的变化范围（即定义域）。下面我们用更精确的语言来表示  与  的对应关系：

列车行进的路程  与运行时间  的对应关系是 ，其中  的变化范围是数集 ， 的变化范围是数集 。对于数集  中的任一时刻 ，按照对应关系 ，在数集  中都有唯一确定的路程  和它对应。

问题3：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资 （单位：元）是他工作天数  的函数吗？

预设：工资  是一周工作天数  的函数，其对应关系是 。其中  的变化范围是数集 ， 的变化范围是数集 。

追问：问题2和问题3中的函数有相同的对应关系（），你认为它们是同一个函数吗？为什么？

预设：学生认为不是同一个函数，因为自变量的取值范围不同，得到的函数值的范围也不同。

教师引导：很好！这说明判断两个函数是否相同，不能只看对应关系，还要看定义域。问题2中 ，问题3中 ，定义域不同，函数就不同。

问题4：图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（AQI）变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻  h的空气质量指数（AQI）的值 ？你认为这里的  是  的函数吗？

（展示教科书图3.1-1）

预设：学生通过读图，能确定任一时刻的AQI值。从图中可知， 的变化范围是数集 ，AQI的值  都在数集  中。对于数集  中的任一时刻 ，按照图3.1-1中曲线所给定的对应关系，在数集  中都有唯一确定的AQI值  与之对应。因此，这里的  是  的函数。

追问：你能根据图3.1-1找到中午12时的AQI的值吗？

预设：学生在图象上找到  时对应的  值约为90。

教师引导：注意这里对应关系是用图象给出的，而不是解析式，这说明函数的对应关系不一定都能用解析式表示。

问题5：国际上常用恩格尔系数 （）反映一个地区人民生活质量的高低。表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况。你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数  是年份  的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？

（展示教科书表3.1-1）

预设：学生观察表格，发现  的取值范围是数集 ， 的取值范围是数集 。对于数集  中的任意一个年份 ，根据表3.1-1所给定的对应关系，在数集  中都有唯一确定的恩格尔系数  与之对应。所以， 是  的函数。

教师引导：以上四个问题的背景各不相同，对应关系的表示方式也不同（有解析式、有图象、有表格），但它们有共同的特征。请同学们思考：上述四个问题中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？

组织学生小组讨论，然后全班交流。教师根据学生的回答板书关键词：

• • 都包含两个非空数集，用 ， 表示；
• • 都有一个对应关系；
• • 对于数集  中的任意一个数 ，按照对应关系，在数集  中都有唯一确定的数  和它对应。

教师总结并板书函数定义：

一般地，设 ， 是非空的实数集，如果对于集合  中的任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在集合  中都有唯一确定的数  和它对应，那么就称  为从集合  到集合  的一个函数，记作

其中， 叫做自变量， 的取值范围  叫做函数的定义域；与  的值相对应的  值叫做函数值，函数值的集合  叫做函数的值域。

教师强调：

• • 函数是建立在两个非空数集之间的对应关系，符号  表示从  到  的一个函数；
• • 对应关系  可以是解析式、图象、表格，也可以是其他形式；
• • 值域是集合  的子集，但不一定等于 。例如，问题2中值域就是 ；问题4中值域是  的真子集。
• • 对定义的理解要抓住关键词：“非空实数集”“任意一个”“唯一确定”。
• • “变量说”强调“变化过程”，“对应说”强调“集合对应”。“对应说”用集合语言更精确地界定了“输入”“输出”和“规则”。

【环节三】例题讲解，巩固新知（约10分钟）

设计意图：

• • 通过例1的学习，帮助学生理解函数的解析式可以脱离实际背景而抽象存在，定义域需要根据实际背景或数学意义来确定。
• • 引导学生学会用函数定义（三个要素）来刻画一个函数，体会数学建模的基本过程。
• • 通过“探究”活动，鼓励学生自主构建问题情境，加深对函数概念的理解。

师生活动：

例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律。例如，正比例函数 （）可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等。

试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式  来描述。

（1）明确问题本身

教师请学生完整读出题目后，依次追问：

① 这是一个什么类型的数学问题？

预设：这是一个“构建问题情境”的问题，即需要根据给定的解析式，创造一个实际背景，使其中两个变量的关系恰好能用这个解析式刻画。

② 具体要求解决什么？

预设：构建一个问题情境，使其中变量关系可以用  来描述。

③ 这个目标的数学含义是什么？

预设：需要找到两个变量  与 ，使得它们之间的对应关系恰好是 ，并且  的取值范围要使得  的值有意义，通常需要结合具体背景来确定定义域。

（2）拆解题设条件

① 题目给出了什么已知条件？

预设：给定了解析式 。

② 这个解析式的数学特征是什么？

预设：这是一个二次函数，展开后为 ，图象是开口向下的抛物线，对称轴为 。当  时， 的最大值为25（在  时取得），值域为 。

③ 解析式中的  和  在实际背景中各代表什么？

预设：这需要根据具体情境来确定。关键是要让  这个表达式在情境中有明确的数学意义。

（3）建立条件与目标的联系

① 我们学过哪些实际问题中会出现形如  的表达式？

预设：在几何问题中，长方形的面积 = 长 × 宽。如果周长为20的长方形一边为 ，则另一边为 ，面积 。这是一个自然的联系。

② 定义域如何确定？

预设：如果限制 （边长必须为正且小于周长的一半），则  的取值范围为 。

（4）研究核心对象的方法

① 这个问题的核心是什么？

预设：核心是用实际情境解释给定的解析式，即把抽象的二次函数还原为一个具体的实际问题。

② 如何确保情境的合理性？

预设：情境中的两个变量必须符合实际意义，定义域必须是实际问题中变量的允许取值范围。

（5）落地方法并验证逻辑

教师引导学生完成解答并追问：这里  定义域能否取全体实数？为什么不行？

预设：在实际问题中，长方形的边长不能为负数，所以 ，不能取全体实数。

示范解答：

把  看成二次函数，那么它的定义域是 ，值域是 。对应关系  把  中的任意一个数 ，对应到  中唯一确定的数 。

如果对  的取值范围作出限制，例如 ，那么可以构建如下情境：

长方形的周长为20，设一边长为 ，面积为 ，那么 。

其中， 的取值范围是 ， 的取值范围是 。对应关系  把每一个长方形的边长 ，对应到唯一确定的面积 。

（6）方法归纳

构建函数情境的一般步骤：①先明确解析式对应的数学模型（如二次函数）；②根据实际意义确定自变量的取值范围（定义域）；③用自然语言描述变量之间的对应关系。

探究：构建其他可用解析式  描述其中变量关系的问题情境。

预设：学生可能提出：将一根长为20的绳子围成一个矩形，一边长为 ，面积为 。或：两个正数之和为10，其中一个为 ，它们的乘积为 。教师对学生的回答给予肯定，并提醒注意定义域的一致性。

【环节四】课堂练习，内化新知（约7分钟）

设计意图：

• • 通过教科书练习的第1题，检测学生对函数定义域、值域的理解，以及对函数定义的运用能力。
• • 通过第2题，让学生体会图象也是表示函数对应关系的一种方式，练习从图象中获取信息，确定定义域和值域。
• • 通过第3题，帮助学生区分函数与一般对应的区别，加深对“唯一确定”的理解。
• • 通过第4题，让学生仿照例1构建问题情境，巩固所学知识。

师生活动：

练习1：一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标。炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度 （单位：m）与时间 （单位：s）的关系为

求所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数。

解答：由题意可知， 的变化范围是 ，所以定义域为 。当  时  最大，，所以值域为 。用函数的定义描述：设 ，，对应关系  把  中的任意一个数  对应到  中唯一确定的数 。

练习2：2016年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度走势如图所示。

（展示教科书图象）

（1）求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；（2）根据图象，求这一天12时所对应的温度。

解答：（1）定义域为 （其中  表示从2日8时开始经过的小时数），值域为 。（2）根据图象，12时所对应的温度约为9℃（具体值以图象为准）。

练习3：集合 ， 与对应关系  如下图所示。 是否为从集合  到集合  的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？

（展示教科书图象）

解答：是函数。定义域为 ，值域为 （需根据具体图象确定），对应关系  如箭头所示。

练习4：构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式  来描述。

预设：学生可能回答：设正方形的面积为 ，则它的边长 （）。

教师对学生的回答进行评价，特别关注定义域的确定是否正确。

【环节五】课堂小结，回顾反思（约5分钟）

设计意图：

• • 引导学生从知识、方法、思想三个层面总结本课收获，帮助学生建构系统化、结构化的知识体系。
• • 反思学习过程中的难点（从“变量说”到“对应说”的转变）和突破方法，积累数学活动经验。

师生活动：

问题6：请同学们回顾本节课的学习过程，从知识、方法、思想三个层面总结本节课的收获。

预设：学生可能从以下几个角度回答：

• • 知识层面：学习了函数的形式化定义（“对应说”），知道了函数的三要素（定义域、对应关系、值域），知道了值域是集合  的子集。
• • 方法层面：经历了一个完整的数学抽象过程——从多个具体实例中归纳共同特征，再抽象出一般定义。
• • 思想层面：体会了从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想，以及集合对应的思想。

教师总结：

• • 知识上：函数的“对应说”定义——设 ， 是非空的实数集，对于  中的任意一个数 ，按照确定的对应关系 ，在  中都有唯一确定的数  和它对应。函数的三要素：定义域、对应关系、值域。值域是  的子集。
• • 方法上：我们通过分析四个具体实例（行程、工资、AQI、恩格尔系数），抽象出了函数的共同特征，再形成严格定义。这种“实例→归纳→抽象→定义”的过程是数学概念学习的重要方法。
• • 思想上：函数是刻画变量之间对应关系的数学模型。函数的对应关系可以是解析式、图象、表格等多种形式。判断两个函数是否相同，要看定义域和对应关系是否相同，不能仅看解析式。

六、目标检测设计

检测题1：判断下列说法是否正确，并说明理由。

（1）函数  与函数  是同一个函数；（2）函数  与函数  是同一个函数；（3）函数 （）与函数 （）是同一个函数。

【设计意图】：检测目标1（理解函数三要素，能判断两个函数是否相同）的达成情况。第（1）题考查对应关系不同，第（2）题考查定义域不同（ 的定义域为 ），第（3）题考查定义域不同。学生需要通过比较三要素来判断，可以反馈学生对“确定函数的关键是定义域和对应关系”的理解程度，考查逻辑推理素养。

【答案】：（1）错误，对应关系不同；（2）错误，定义域不同（ 中 ）；（3）错误，定义域不同。

检测题2：求下列函数的定义域：

（1）；（2）。

【设计意图】：检测目标2（能求简单函数的定义域）。第（1）题需要利用偶次根号下非负，第（2）题需要利用分母不为零。通过学生的解答，可以反馈其对函数定义域含义的理解，以及用集合语言表示定义域的能力。

【答案】：（1）；（2）。

检测题3：某人开车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶时间为  h，行驶路程为  km。

（1）请用函数的定义描述  与  的函数关系；（2）这个函数的定义域、值域分别是什么？

【设计意图】：检测目标2和目标3。学生需要将实际情境转化为函数关系，用集合对应的语言精确描述，体会数学建模的思想。通过学生的表达，可以反馈其是否能将教科书上问题1的分析方法迁移到新情境中。

【答案】：（1）设 ，，对应关系  把  中的任意一个数  对应到  中唯一确定的数 。（2）定义域为 ，值域为 。

检测题4：下列对应中，是从集合  到集合  的函数的是（ ）。

A. ，，：，B. ，，：，C. ，，：D. ，，：

【设计意图】：检测教学目标2，考查判断对应关系是否为函数的能力。学生需要验证“任意一个”和“唯一确定”两个条件。考查逻辑推理素养。

【答案】：C、D。解析：A中一个  对应两个 ；B中  时  不在  中；C中  中每个  对应唯一 ；D中 ，对应唯一确定。

检测题5：求函数  的定义域。

【设计意图】：检测教学目标2，考查求函数定义域的能力。学生需要正确列出使表达式有意义的条件。考查数学运算素养。

【答案】：需  且 ，即  且 。定义域为 。

检测题6：已知 ，，求  的值域。

【设计意图】：检测教学目标2，考查求函数值域的能力。学生需要利用二次函数的性质，在给定区间上求最值。考查数学运算素养。

【答案】：。 时取最小值 ； 时取最大值 。所以值域为 。

检测题7（开放性）：请用“对应说”的语言，重新描述“一次函数 ”。

【设计意图】：检测教学目标1，考查对“对应说”定义的理解。学生需要能够用“集合与对应”的语言描述一个具体的函数。考查数学抽象素养。

【答案】：设 ，，对应关系 ：。对于  中的任意一个实数 ， 中都有唯一确定的实数  与之对应。所以  是一个函数，定义域为 ，值域为 。

七、布置作业

基础题（全体学生必做）：

• • 教科书第65页练习第1题。
• • 教科书第67页习题3.1第1、2题。

提高题（学有余力的学生选做）：

• • 教科书第67页习题3.1第3题。
• • 教科书第72页习题3.1“综合运用”第6题（函数的实际应用）。

八、板书设计

3.1.1 函数的概念

一、函数定义（“对应说”）：

设 ， 是非空的实数集，如果对于集合  中的任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在集合  中都有唯一确定的数  和它对应，那么就称  为从集合  到集合  的一个函数，记作 ，。

二、函数的三要素：

• • 定义域（自变量的取值范围 ）；
• • 对应关系 （解析式/图象/表格/其他）；
• • 值域（，是  的子集）。

三、典型实例分析：

• • 问题1：，
• • 问题2：，
• • 问题3：AQI与时间 （图象表示）
• • 问题4：恩格尔系数  与年份 （表格表示）

共同特征：

1. 1. 两个非空数集 ，；
2. 2. 一个对应关系；
3. 3. 任意 ，唯一  与之对应。

四、例题：

例1：构建情境 → 长方形周长20，一边 ，面积 。

五、判断是否为函数：

• • 条件①： 中每个  都有对应（“任意一个”）；
• • 条件②：对应是唯一确定的（“唯一确定”）。

九、教学反思（课后撰写）

本节课是函数概念的起始课，核心任务是实现从初中“变量说”到高中“对应说”的认知升级。教学中应特别注意：

（1）四个实例的分析不宜过快，要给学生充分的时间感知“自变量的取值范围”的重要性；（2）在归纳共同特征环节，要鼓励学生用自己的语言表达，教师再进行规范；（3）学生对  与  是否相同的辨析，是检验概念理解的重要契机，应给予充分讨论的时间；（4）后续教学中还需要通过函数的表示法、单调性等内容不断深化学生对函数概念的理解；（5）要关注学生在用集合语言描述函数时的表达困难，及时通过“加工机器”“集合图”等直观方式帮助理解对应关系  的含义。