教材推荐|《矩阵理论及其在机器学习中的应用》

矩阵作为现代科学研究的基础性工具，其应用价值贯穿数学理论与工程技术两大领域。在理论层面，它与数值分析、最优化理论等数学分支深度耦合；在工程实践中，其作用主要涵盖三大领域：智能技术（深度学习、神经网络）、信息工程（数字信号处理、通信理论）、系统科学（运筹论、控制论）。这种跨学科渗透性使其在随机过程建模、管理科学等交叉学科中同样发挥着关键支撑作用。许多新的理论、方法和技术的诞生与发展就是对矩阵论的创造性应用与推广的结果。在工程学科研究生培养体系中，矩阵理论的学习呈现双重核心价值：其一，作为现代工程技术的基础语言，它系统建构研究生的数学建模能力与计算思维；其二，其方法论特质显著提升了三大核心能力维度——抽象结构的几何化表达能力（特征分析/张量运算）、复杂系统的代数化处理能力（矩阵分解/谱分析）、工程问题的算法化翻译能力（数值计算/最优化）。这种独特的数学工具不仅塑造了工程思维范式，更是人工智能、信号处理等前沿领域的创新基石。

矩阵理论作为兼具数学思想体系与方法论特征的学科分支，在理论完整性与应用广泛性上展现出独特价值，其发展始终遵循数学理论自身的内在完备性追求与实际工程需求的持续驱动。当前教学实践面临一定的结构性矛盾：其一，现有教材内容同质化现象严重，虽涵盖经典理论却普遍忽视非数学专业学习者的认知梯度，导致理论深度与工程需求错位；其二，知识体系构建存在应用性断层——应用价值显著的实用矩阵方法常因理论深度不足而被简化处理，而某些艰深理论成果因缺乏实际应用场景而成为教学冗余。针对这一现状，本书在理论方面建立由浅入深的概念拓扑网络，在应用方面打造“问题驱动—方法解析—工程实现”的认知闭环。通过精准锚定理论严谨性与工程适用性的平衡点，形成既满足数学学科规范性要求，又契合工程技术思维模式的矩阵理论教学体系。

第1章在复习线性代数中涉及的矩阵理论基础上，介绍了矩阵求逆引理和矩阵满秩分解等概念和计算。在介绍线性映射时，不仅限于线性变换，因为矩阵一般情形下不一定是方阵，矩阵可以看作线性映射的代数表示，因此在第2章讨论了线性映射的基本理论，以一般线性空间与列向量空间整体间存在可逆映射为基础，而一般的微分流形仅能与列向量空间的局部区域建立可逆映射，从而线性空间是特殊的流形，进而与微分流形建立联系。为了理解深度学习中的卷积网络和U-Net模型中涉及的卷积算子和反卷积算子，在第4章欧几里得空间中引入线性映射及共轭，它们的矩阵表示之间存在转置关系。在第5章讨论了快速吉文斯变换的基本思想和算法以及复吉文斯变换;针对矩阵填充方法讨论了奇异值分解的最优低秩逼近性。在第6章，考虑到目前很多教材中矩阵广义逆是由矩阵方程组定义的，为广义逆的理论和计算方法带来很大的困扰，为此我们补充了基于矩阵等价标准形的通解形式，使得一些抽象的推导过程简化为计算过程，从而降低了工科学生的理解难度。在第7章的矩阵范数中，引入了对偶范数的概念，并且针对稀疏信号处理中的矩阵核范数讨论了它和谱范数的对偶关系。在第8章矩阵分析中的向量微分和矩阵微分，目前的教材从数学学习的观点出发，仅仅将它看成一种在形式上对多元函数微分的推广，而没有考虑其在深度学习等领域中实际所需的计算公式与方法，难以直接指导复杂模型梯度的计算与优化。我们不仅给出了矩阵导数的代数形式与微分形式，还以深度学习中的前馈神经网络为例，详细推导了误差反向传播算法的具体公式，从而阐明了求解矩阵导数的通用过程。在第9章矩阵直积中介绍了矩阵的直积分解公式，它是目前图像分片特征提取的数学基础。

编辑：李孺彬

审核：刘利