很久之前，我写过小初高的计算贯通文章，时隔多年，随着我家孩子的成长，对于小初高计算这个问题我也有了新的认知，于是也就有了这篇文章，以求帮助朋友们彻底解决小初高计算问题。

首先我们以人教版小初高24本教材为基础，列出从小学一年级到高中选择性必修三中所有的计算内容天梯。

事情最怕较真，当我们自下而上浏览完整个小初高计算体系后，想必大家应该都会有自己的认知和心得，很多变化趋势、学习特点、关键节点一目了然，相应的应该如何去提升计算也了然于胸了吧。

在此聊聊我的感受，大家可以在留言区里交流一下。

首先我们为什么关注计算？计算到底在当下的小初高数学学习与考察中占据什么样的地位？

从小学到初中高中，在目前的教学环境下，计算仍然是小初高数学学习和应试的重要内容。

在小学数学的学习中，计算本身就是一个重要的学习内容，甚至在小学低年级，计算是主要学习内容。

比如上面这份三年级下册的期末测试题，大家可以看一下计算的含量。

小低年级的学生大脑发育尚未完备，过于抽象的内容很难理解，所以一般从比较直观的计算内容开始，而且因为计算属于规则型知识，掌握了规则就可以推广，且可以现实生活对应，所以，计算自然就是小低年级数学学习的重中之重。

到了初中之后，计算仍然是一个重要的单独考点，整式、分式、因式分解、方程与不等式的解决，学生学习的不仅仅是计算，更是数学代数化的体现，也接触了进一步研究数学的工具，此时的计算工具属性开始逐渐超过直接考察，在中考中仍然是非常重要的考察内容。

以上是河南省25年中考数学试卷中的纯计算考察。

以上是河南省25年中考数学试卷中的部分题目，虽然不是重点考察计算，但是计算在其中起到了重要的作用，是解题过程的有机组合。

到了高中，虽然也会学习一些新的计算比如指对数计算，数域也会得到进一步扩充比如复数，但是计算不再是单独的直接的考察，就像上表所示，高中的计算更多的融入到解题的整体流程中，更像是一种知识的应用，更强调如何使用，更像是一种综合性的考察，一道题目中同时涉及多种计算类型，需要你在复杂的数学情境中灵活运用各种计算方法。

以上是25年新课标全国一卷数学的部分题目。

比如圆锥曲线问题，你需要设元、需要构造方程、联立方程、运用韦达定理、进行代数变形、消元、换元、计算弦长、面积、定点坐标，甚或转化为函数、不等式，这其中既有复杂的基础计算——通分、约分、提取公因式、整式乘除，又有公式应用计算——韦达定理、判别式、两点间距离公式，还有复杂的多步骤推理计算——整体代换、消元、合并、公式变形.....

虽然不再是单独考察，但是高中计算仍然是数学解题的重要参与者，方程、不等式、整式分式计算在各种题目中都一直在使用。

不管是小学、初中还是高中，几乎所有的数学问题落脚点都在于计算，计算的质量——速度、准确度，尤其是心算速度，直接决定了答题质量。

因此，就当下的小初高各级各类考试而言，计算非常重要！

所以，对计算予以一定的重视，在学习数学之初就打好基础，是一个不错的选择。

在此我需要强调的是，计算固然很重要，但计算的训练是一个长期的过程，只要坚持，不需要猛火狂攻，适当提前、科学规划、日积月累就会有一个比较好的结果，真的不需要一天练好几页，达不到全对就誓不罢休。

那么小初高的计算是如何上升的，又有哪些关键节点呢？

小初高计算呈现出非常明显的循序渐进，逐步提升的特点，下一层级计算是否熟练，直接影响到上一层级掌握的好坏与否。

我们不妨对着表格一点一点掰扯。

首先当然是加减法。

小学阶段的计算是有可能狂飙突进的，原因就在于它主要就是一套规则，然后就是在同一规则之下不断的增加复杂程度而已，底层规则是一直不变的。

比如加法，首先你搞明白10以内的加法，对10的分解搞清楚，那么在20以内进位加法时就会比较轻松。

而只要20以内进位加法熟练，那么100以内的加法、10000以内的加法，又有什么本质区别呢？

并没有。

而当你真的把加法搞熟练了，那么减法是不是迎刃而解，5+8=13是加法，？+8=13，？是多少，这不就是减法。

如果我们不使用破十法，就会发现减法本身就是加法的逆运算，加法如果非常熟练，减法计算自然就上手更容易。

对此我们怎么提前铺垫呢？

比如提前进行10以内数的分解与组合练习；比如通过”找朋友”游戏熟悉凑十的数对，比如使用小棒、计数器等教具，直观感受”满十进一”，比如可以让孩子记背口诀。

与之类似的还有乘除法，除法是乘法的逆运算，那么你除法熟练的前提就是乘法首先要能够计算熟练。

说这个的原因主要在于，很多计算问题，有时候并不是单纯的马虎问题，可能是基础计算出了问题。

比如有学生三位数除以两位数总是算不好，原因真的是他规则不熟悉吗？

也许问题其实出现在乘除法和加减法上——比如计算621÷27=？

你首先要做的算乘法，谁乘以27会比62小那么一点点，然后是减法，62减去54等于谁，最后是除法，81除以27等于几？

为什么难？

就是因为程序复杂，涉及位值理解、进位管理、试商调整等，长时工作记忆要求高，一步出错满盘皆输。

怎么提前铺垫？

可以提前练习数的组成，强化位值概念，循序渐进，从两位数乘一位数逐步过渡到多位数乘法，练习乘法估值。

如果是笔算就算了，如果是心算，如果你的乘除法和加减法不熟悉，自然就会经常出错。

所以在计算学习的一些起始阶段，是特别要注意的，比如一年级上册、下册的20以内进位退位加减法，就是如此。

因为它们涉及到的是基础规则。

同理，二年级上册的乘法非常重要，乘法熟练、准确是除法快速上手的前提。

二年级下册有余数的除法也比较重要，这是后期复杂除法的基础之一。

三年级为什么是关键节点，在上图中就可以清晰得见。

仅以计算而言，三个内容——混合运算，学生开始逐步基础比较复杂的计算式子，涉及到多项、多步、多种类型，这与之前的计算相比较开始从单线程变成多线程，学生开始接触运算级，是后期四则运算的基础；

多位数乘一位数，比较复杂的乘法，开始会逐步涉及连续进位，又是多线程的计算，它也是后期多位数相乘的基础；

分数的初步认识，开始对分数进行认知，对简单的分数计算进行练习，这又是一个新的基础内容。

这几个内容在小学计算中都属于非常重要的内容，需要多加练习，以保证顺利适应，顺带一提，可以认为这里的分数和混合运算是初一有理数计算的发轫点。

四年级下册，又一个重点——四则运算，涉及到运算级、括号改变运算顺序，涉及到各种相对复杂的运算形式，巧算开始逐渐接触。

为什么我要说巧算？

巧算其实是运算策略的雏形——怎么算比较方便？哪些数字之间存在着某些关系可以运用？是不是可以通过改变运算顺序来简化计算？......

运算策略的选择是高中计算中一个很重要的点。

运算律——涉及到运算规则，交换律、分配率、结合率，学生开始明确接触规则性的数学内容，甚至开始初步接触抽象的代数表述形式；

小数的加减法——一种新的、更复杂的运算，一种新的数字——有理数，和之前的计算有些联系，但又不太一致，主要是涉及到位值，仍然是基础性内容，必须要予以重视。

五上学生开始接触方程，这是学生接触抽象化和代数化的数学的起点。

值得一提的是：？+8=13，？为多少。x+8=13，x为多少。

这两个在本质上是一致的，那么前者是在我们文章的哪里出现的呢？

在小学一年级就可以出现了。

事实上在小学的低年级课本中，方程其实经常出现，只不过出现的不是xyz，而是香蕉、苹果、猴子、兔子罢了。

分数的相关性质与运算，是小学高年级非常重要的内容，这些内容是否熟练对于初高中学习都有影响——通分、约分、分数的加减乘除，在七上有理数计算中屡见不鲜，在也是分式运算的基本法则，在高中数学里，不管是单调性判定还是解分式不等式，亦或是圆锥曲线中，这些法则都是经常使用的。

当然如果我们追根溯源，分数的计算最终拆解出来还是加减乘除罢了。

怎么提前铺垫？

可以提前通过折纸、分物、切月饼、西瓜，对一定数量的对象比如瓜子进行划分，通过这些活动建立分数的直观认识，或者提前学习分数的基本性质，为通分约分打基础，最好是提前熟练掌握公倍数、公因数的求法。

比例，涉及到的正比例反比例，是很多比较复杂问题的基础，比如你在小奥中学习到的直线型几何问题，基本到最后都是用比例做的，比较复杂一点的行程问题中也会有比例，正比例反比例其实还可以和函数挂钩。

比如人教版六下这道题目，其实已经出现了正比例函数图像的身影。

负数，则是又对数系进行了扩充。

在此顺带说一下，人教版小学数学新教材是非常优秀的一套教材，教材中的例题习题很多都可以进行拓展，为后期学习留下了伏笔。

七年级上册又是一个关键节点：

有理数计算是一个难点，涉及到各种复杂的计算，复杂度和难度上了一个新台阶，这是一个非常关键的节点，因为涉及到初中数学的适应，所以建议重视起来。

乘方又是一种新的运算，建议对其熟练掌握，因为乘方运算将来会学习其逆运算开方，到了高中还有对数运算也与其有紧密的联系，可以说对数运算不熟练的学生，十之八九是乘方运算就不够熟练。

整式加减又是一种新的运算形式，从小学的数值计算变成了代数计算，从此之后代数计算正式成为初高中数学计算的主体，非常重要的基础，尤其是通过计算养成的好习惯，对于未来也是有益的。

一元一次方程，小学的方程只是简单应用，到这里才真正开始具体研究，首先设元、列方程、解方程来解决问题就是一种重要的思路，解方程本身就是比较重要的题型与方法，在此处学生开始初步接触含参方程的解决，体会到分类讨论，初高中几乎所有的方程，除了超越方程之外，都是转化为一元一次方程，一元一次方程、函数、不等式之间的关系，也是未来非常重要的内容。

通过梳理，我们可以清晰的发现，整个小初高计算天梯的分布非常密集，到了初中高中后，重复的、结构相似的内容很少，一直在不断的学习新内容，拓展到新的领域。

实数，数系到此算是比较完备，从小学到初中，数系从自然数到整数再到有理数，到此接触开方和无理数，拓展到实数集，虽然说高中还会学复数，但是大部分高中数学问题都是在实数范围内研究的。

不等式，一种新的运算形式，也是初高中众多不等式问题的基础，不等式的性质，解不等式的基本流程，虽然题目千变万化，内容有深有浅，但其基础在初中时就奠定了。

从这点看，初中的计算的确在为高中数学的学习提供工具，奠定基础。

分式计算不仅仅是在初中有用，到了高中也是非常常见的内容，而因式分解的技巧性比较强，其中的一些主要知识和方法——乘法公式、十字相乘、整体代换等等思路到了高中也经常使用。

一元二次方程式比较重要的内容，其与一元二次函数、一元二次不等式的关系能够使得学生深入了解函数、方程、不等式之间的关系，尤其是到了高中，三个一元二次仍然是重点和难点。

锐角三角函数，有些教材中又称之为三角比，这是高中三角函数的基础，因为初中三角函数是在直角三角形中使用，在实际解题中也经常会使用。

高中的计算其实没有办法单列了，第一是高中所学习的内容很多，大量的知识是并列关系，没有纵向的脉络，但每一个知识都可能包含一个完整的体系，比如单独一个平面向量内就包含了全面的各种计算——加减法、数乘向量、数量积、有些学生还会学内积，也包含了这些计算的应用——求距离 、求角、平行垂直判定等等，甚至还有计算形式的转换比如坐标运算；

第二是高中的计算其实使用的大都是初中打下的基础——方程、不等式、整式、分式计算、因式分解等等内容，只不过是融汇在知识与解题过程中去了。

这也是我为什么要再次花费时间写这篇计算天梯的原因，高中计算不好的根源，一是概念、方法、技巧不过关，二是基础没有牢固，理论上讲，一个新高中生在计算上是不应该有问题的。

高中生如果要进行计算练习，不应该是加减乘除，整式分式计算了，而是应该去结合题型、结合特定的条件结构进行练习，提升解题的整合度。

其实我们如果从一开始就做好铺垫，是可以做到近乎无痛的提升计算能力的，看过上面内容分析之后，我们可以看出计算训练就是具备有一定的连续性，层层递进、环环相扣。

比如数系扩展的连续性——从自然数到复数。

每一次数系扩展，都是为了解决新的问题，要么是计数需要（自然数扩展），要么是度量需要（小数分数），要么是数学理论、计算发展的需要（负数复数）。

自然数不够用了，引入分数表示部分；正数不够用了，引入负数表示方向；实数不够用了，引入复数表示旋转。

比如运算规则的迁移。

位值制是整个计算体系的基石，虽然有变化，但其实在小初高计算中一脉相承。

整数加减法主要是相同数位对齐，小数加减法强调的是小数点对齐，但本质仍然是相同数位对齐，到了多项式加减，我们强调的是同类项对齐，高中的向量运算尤其是在坐标运算中，所谓的坐标加减，本质上还是对应分向量相加减。

对应或者说对齐，或者说分类加减，是计算中的一脉相承的规则。

再比如计算天梯与思维发展的对应连续——从具体到抽象。

小学低年级的计算思维是具体运算思维。

主要是受制于学生的思维水平，所以在计算教学中依赖具体实物或图像。

小学高年级的计算思维是半抽象思维，开始逐步的接触方程。

小学阶段的计算，说白了就是在打地基，但这个地基怎么打，里面大有学问。

第一个特点就是从具体形象到抽象符号的过渡。

一年级的孩子学凑十法，需要借助小棒、计数器等实物来理解。8+5=？孩子要把5分成2和3，先算8+2=10，再算10+3=13。

这个过程在成人看来简单，但对一年级的孩子来说，这是一个巨大的思维飞跃。

很多家长急于求成，希望孩子秒答，结果孩子没有真正理解算理，只是机械记忆，到了高年级就会出问题。

一开始慢一点没有关系，真正理解了回答，而不是靠蒙，这点很重要，因为只有理解了算理，才能真正理解计算。

第二个特点是口算与笔算并重。

小学阶段是计算基本功形成的关键期，一定不要仅仅满足于笔算，口算（心算）其实更重要——比如20以内加减法要达到自动化水平，看到算式立即说出答案，这样你算更复杂的进位加法时才不会出错。

第三个特点是运算法则重视直观认知，而不用过于追求抽象。

小学阶段不强调严格的数学证明，而是通过实例让学生感悟运算法则。比如加法交换律，通过实物演示和实际计算多次验证，孩子们通过归纳总结自然可以发现规律。

这种直观理解很重要，因为这是孩子建立数学直觉的基础，归纳总结也是重要的思维方式。

到了初中之后，随着学生的思维发展水平提升，开始引入大量代数内容，进入了培养考察抽象代数思维的阶段。

首先就是计算对象从数到式的转变。

小学计算的对象是具体的数，初中计算的对象是代数式。

从3+5=5+3到a+b=b+a，简单的字母可以表示任何数，一个式子可以表示一个适用于各种情况的规则，这是一个巨大的抽象。

很多孩子不适应这种抽象，他们总是想a到底是几，没有理解字母表示的是任意数。

如果这种转换不能及时完成，最后他们在理解函数的时候就会面临巨大的困难。

其次是开始逐步的形式化，不再是单纯的追求一个数值，而是对式子进行变形化简，从求答案到研究关系。

就比如解方程，2x+3=7。

小学生解这个方程的时候，其实本质上还是加减法 、乘除法逆运算这一套——什么数加上3等于7？是4。那么2乘什么数等于4？是2。

这是逆向思维。

初中生解方程的本质原理是等式性质——两边同时减3，得到2x=4；再两边同时除以2，得到x=2。

这是正向的、程序化的思维。

进入高中，计算则不仅仅是追求答案，而是在研究关系，机构，彻底变成了抽象的形式思维。

高中计算的对象是函数、向量、导数、复数等更加抽象的数学对象。

比如函数求值，不是简单的代入计算，而是需要考虑定义域、分段情况、复合关系等。

高中计算不再是孤立的技能，而是与推理能力紧密相连。

比如利用导数判断函数单调性，你需要先求导，然后解不等式，最后列表分析。

这个过程既有计算，又有推理。

了解这个思维过程有什么用处？

首先就是在各个阶段做该做的事，不能跳过必有的计算，比如很多家长喜欢在小低年级教孩子用方程解决应用题，有些孩子接受能力强可以，但大部分孩子的抽象能力发展不到，那么就理解不了，徒增烦恼。

其次这个思维发展过程是不可逆的，每个阶段都是下一个阶段的基础。

低年级打好具体形象思维的基础，学生随着年龄的增长会在这个过程中逐步的抽象，逐步的从具象的计算向抽象的计算迈步。

了解了小初高计算的相关内容，想必大家对如何训练应该有了一些头绪，下面我聊聊我的思路。

首先计算是可以向前拉的，这是我之前推荐《公文数学》的原因。

其实说计算可以向前拉，倒不如说计算是一环套一环、阶梯层次很清晰、很密集的一条天梯，因此只要在这个天梯上行走，你能力强自然就可以快一点，能力弱就可以慢一点，但是只要一直在进步就可以，因为目标很明确，过程很明晰，没有什么可以犹豫彷徨的，逐步前行即可。

公文数学的阶梯分布其实挺符合这种进度。

绝大多数的学生，都是具备适当的把计算向前拉的可能的。

其次计算是要日积月累的，不是一天两天的事情。

因此拔苗助长要不得，很多看上去惊艳的进展都是水到渠成的结果，不用着急，只要孩子有进步就行，因此一定要避免题海战术，避免速度至上，一味追求计算速度，避免一刀切的进度要求。

我是不建议每天进行大量的计算训练的，一般来说，市面上流行的计算类教辅，一天做个两页就可以了；

虽然我们要求计算要有一定的速度，但是在训练之初，完全可以慢一点，宁可慢也要有一个正确的认知，对数理认知清晰，知道为什么这样算，保证一开始的计算就不会形成错误的印象，比如一个孩子在乘法时记成了七八五十九，可能他后期纠正过来了，但是在一些复杂、高强度的计算场景下，说不定会旧病复发；

对于速度、正确率和熟练度，我的建议是达到一个均衡的水平，因为计算不是一刀切的学习，之后你会在无数场景下反复练习。

比如一页计算题，在教辅建议的时间内完成，或者稍微快一两分钟即可，正确率也不一定要求全对，只要能保证在一两个，如果刚开始，在两三个左右也是可以允许的，重点是对错题的分析，有研究表明，错误也是可以促进大脑发育的。

我个人是建议对于大部分计算都不用演草纸，直接口算，但显然这个要求太高了，一般初期可以用演草纸，复杂的计算问题可以用演草纸，逐步的演进，最后达到一个比较熟练的状态，一般口算能够达到三位数与个位数心算很快很准就是不错的能力了。

数感也是一个很重要的培养方向，其实数感一开始不是我们理解的意思，但现在大家普遍认为数感是学生对数字的敏感度，可以估算，可以发现数字之间的一些规律性等。

我也就沿用这个概念吧，在日常的训练中有意识的启发孩子对一些数字的规律性现象有所认知是可以适当的培养数感的。

到了高年级之后，数值计算转化为代数变形，熟练度和准确度仍然是重中之重，尤其是初高中的代数计算往往是一某一道题目的解题步骤出现的，一旦出现错误，后面的分数就没有了。

对于因式分解的各种常见技巧（不用学太复杂），各种乘法公式，二项式定理等等要比较熟悉。

对于各种知识的应用要非常熟练，细节和易错点一定要记忆清楚，更要理解本质，比如积化和差与和差化积，是很多高中生毕业时都搞不清楚的公式，但其本质就是和差公式的变形，对此一方面要熟练，只有熟练才能节约解题时间，另一方面要准确且理解，万一记不清楚还可以自己推导。

第三，计算训练的常用教辅与工具。

我之前推荐的是公文和三招过关，其实其它的计算类教辅都不错，没有太大的区别，因为这类教辅太透明了，属实没有什么可挑的。

如果让我再推荐一个的话，那就《周计划》吧，我觉得难度还不错，有一定追求的朋友可以选用，如果用了周计划，其实公文和三招过关都可以省掉。

但是我个人还是觉得小低年级的孩子可以用用公文做铺垫，真的是不错的。

周计划初中也有，有兴趣的可以一直用到初中。

在基本计算训练的过程中，可以利用人工智能，比如多位数相乘不够熟练，让人工智能给你出几十道有针对性的题目练习，很轻松就可以搞定。

有一些教育APP中都有口算软件，也可以使用，更有趣味性。

计算除了基本的算之外，还有一个就是计算技巧，比如小升初计算中的裂项，一般在小学是奥数内容，但到了初高中就会变成常规内容，我个人觉得有一定学习的价值，小升初计算六百题我个人觉得是不错的选择，主要价格也不贵，我有课。

第四，注重算理注重过程步骤的标准化。

尤其是到后期，初中的有理数计算，整式、分式计算，高中的各种计算，在学习初期，尽量按照标准流程走，是最好的选择，看起来很麻烦，很慢，但其实能够建立正确的习惯和观念。

计算不是简单的刷题二字就能解决的。它是一个系统工程，需要从基础计算到公式应用，再到综合计算的层层递进；

需要从小学到初中再到高中的连续积累；

需要在每个关键节点上提前铺垫、稳扎稳打。

但计算也不是整个数学的全部，还有概念理解、逻辑推理、数学建模等很多方面，不要只盯着计算，忽视了其他能力的培养。

基础要扎实，但不要过度，不需要抱着一步到位的想法去反复练习。孩子从小到大，每天都在做计算，能力也是在不断发展进步的。

计算一定一定不能过量，本身计算就是一个比较枯燥的训练项目，如果家长在过多训练，过分强调，一旦孩子抵触了就得不偿失。

计算不是死记硬背，而是要理解算理、掌握规律。理解了，记忆就是自然而然的事情；不理解，死记硬背也记不牢。

良好的计算习惯（书写规范、审题仔细、验算自觉）比单纯的计算速度更重要，习惯养成了，速度自然会提升。

尽管现在人工智能发展之后，对于计算的考察会有一些新变化，但计算仍然是比较重要的能力，数学学习就像是一场马拉松，计算能力就是你的耐力。耐力足了，才能跑得更远，看到更美的风景。

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