张能立:加州小学数学教材与中国小学数学教材对比
张能立:加州小学数学教材与中国小学数学教材对比
编者按：友人张能立这篇发布在他科学网博客上的文章，最早的版本是当时（2014年）在科学教育QQ群里讨论的话题，内容是零散的，事后由张能立整理成篇。我女儿正在读小学，作为她的父亲，也出于长期从事科学研究的职业本身，有一种直觉：小学数学学习不应该是眼下这样大习题量的这种铁杵磨成针式训练，而更应该着重训练孩子的数学思维……面对这个问题，有一天我萌发了一个念头：美国人的数学教材是什么样子的呢？于是，笔者在网上找到了《美国加州小学数学》教材。不看不知道，一看吓一跳。可以说，加州小学数学教材和中国小学数学课本对比，真的区别不小。以三年级为例，有三个地方的区别，我感觉特别明显，和大家说一说：“人的认识是从感觉开始，再从感觉上升到概念，最后形成思想。”
人的思维分三个层次：经验思维、概念思维和思想思维。否认概念重要性的人，显然其思维停留在经验层面。即使某个学生天赋超群，但是没有自觉的概念思维，或概念思维能力差，那么，成人后其智力水平也会沦为平庸。笔者大学本科有一个同学，1988年去芝加哥的美国西北大学读书。去年回武汉同学聚会的时候，他向同学们介绍：“当年在西北大学读书的时候，与同期的美国学生比，我的学业分数往往是最高的。统计物理这门功课，他考分是90多分，是修这门功课的成绩最高者。有的老外只考20多分。但是，到了后来的科研阶段，才体会到自己与美国学生的差距，就是概念思维水平比美国学生差得很远，因此，科研搞不赢美国学生。”
我这位老同学后来从科研领域转行，去从事应用层面的计算机网络工作，现在是硅谷一家网络公司的架构师。这里的意思是，概念思维，对于一个人想成为极有智性的人来说是极其重要的。下面我就多边形（Polygon）来说，看看加州小学数学教材是如何教小孩子数学概念的 ...这是加州数学三年级课本的一页，你会注意到左边的 Main Idea and New Vocabulary，这个部分明确告诉学生这一章节学习下来，需要达到什么目标，以及需要学习的新词汇 New Vocabulary；新的词汇也就是新的概念，用黄亮色标注，采用视觉手段，加强孩子对关键概念的意识。为了帮助学生理解概念，讲解一般都是从学生所熟悉的日常生活场景开始。例如，Polygon（多边形）这个概念，就是从交通标志引入的。首先，对概念的定义非常严谨。为了定义 Polygon，会先引入Plane figure（平面图形）这个概念，让孩子知道多边形首先是一种平面图形，什么叫平面图形，然后才是什么叫多边形 ... 逻辑比较严密。然后，开始培养学生集合思维，让学生看到 Polygon 其实是一个聚合概念，包括 triangle（三角形）, quadrilateral（四边形）, pentagon（五边形）, hexagon（六边形）和octagon（八边形）等。这里顺便提一句，从英语对多边形（Polygon）的表述和定义来看，可以清晰地看出，在数学表述上，汉语的“一词一义”是有些缺陷的：可是，当“quadrilateral”被翻译成为“四边形”的时候，就失去了“four angles”那层含义。如果想避免词义的“衰减”，那么，“quadrilateral” 就应该翻译为“四边四角形”，又会很拗口。再来看看中国三年级数学教材有关四边形这个章节的编写 ... 对比之下，你会看到，我们的教材，对于概念的解释相对稀少，而且不太重视用文字语言去阐述数学概念、数学思考过程。相比之下，加州数学教材练习里经常有一个Talk About 部分，让孩子学着用语言去描述、表达数学问题，比如这里：Describe how a rectangle is like a square. Describe how they are different.
其实，言语表述能力在数学学习中非常重要，通过这个环节，可以让孩子加深对概念的理解，促进他的智性发展。Talk About It: Describe how a rectangle is like a square. Describe how they are different.
而要想领略数学的抽象之美，必须先从数学与客观世界的联系这个地方起步。加州小学数学教材每引入一个新的数学概念，都是从实际生活例子开始的。这样孩子学习起来，会减少陌生感。从这里，也可以体会到怀特海强调的教育浪漫阶段的重要性。有了浪漫阶段积累的原粗经验，就有了从经验发展到概念的基础。比如，平面图形的面积这个概念，对于三年级的学生而言，是一个较为抽象的概念。加州数学是这样把孩子带入“面积计算”这个概念的 ... 从这个例子可以看出，加州数学帮孩子理解“面积”这个抽象概念的方式是：1、先对 Area（面积）做一个非常清晰和严谨的 definition（定义）：Area is the number of square units needed to cover a plane figure without overlapping.
2、用 Grid Paper（格子纸）来度量各种平面图形的面积：把“面积”这个抽象概念变成看得见摸得着的"格子" ...3、用 Real World Example （实际生活例子）让孩子在“解决问题”中理解概念，比如计算瓷砖中马赛克图案面积 ... 4、用 H.O.T Problems（高阶思维问题）引导学生更加深入地领悟面积的含义 ... H.O.T是 Higher Order Thinking（高阶思维）的缩写，这部分亮点有两个：Open-ended（开放式思考） 和 Writing In（数学写作）。开放式思维训练鼓励学生展开联想，有效防止著名英国数学家怀特海所言的“呆滞思想”（inert ideas）的出现。而Write-in强调学生用自己的语言阐述问题和解决思路，也是很厉害的锻炼。
再来看看我们的数学教材是如何教孩子理解“面积计算”这类抽象概念的 ... 物体表面或封闭图形的大小，就是它们的面积。这种语言形式，作为数学概念定义，是不符合要求的。“物体表面或封闭图形的大小”中的“大小”这个概念，对于三年级的小学生而言，很难得准确理解。加州数学教材，这里的“大小”这个概念，换成了单位面积正方形的数量。学生很容易理解这里所言的“大小”这个概念是什么内涵。3、没有提供发散性思考和创新解决问题（H.O.T）的机会
加州小学数学教材每一章都包括解决问题的一般策略训练。这个解决问题的一般策略，就是美国著名数学家波利亚在其名著《怎样解题》中提出的4大步骤： Understand, Plan, Solve, Check（理解、计划、解决、检测）Look for a pattern（寻找一个模式）Work a sample problem（化繁为简）Make an organizated list（有序化已知信息）Use logical reasoning（运用逻辑理由）
波利亚解决问题的一般策略与上述这些具体策略是什么关系的呢？用大树类比的话，就是树干与树枝的关系。Understand, Plan, Solve, Check 是树干，具体的方法是树枝。比如，Act it out, Draw a picture 两个策略看似最简单，但是对于低龄段孩子而言，是非常重要的。像进货和卖出，最后剩下多少货物这类数学问题，非常适合采用Act it out（角色扮演）这个策略来解决。孩子扮演老板，家长、老师或同学扮演顾客，在这种互动过程中，孩子最终将生活中的问题运用数学策略解决了。这样的经历，一方面可以极大地提高孩子学习数学的兴趣，另外一方面可以培养孩子的自信心，因为孩子享受到了成功解决实际问题的乐趣和自信。Draw a picture to represent the situation（用图形表达遇到的问题和场景） ，非常简单，不值一提，殊不知这是潜移默化地培养孩子的抽象思维和建模的能力。这样的学习，有一个非常显著的特点，就是小学阶段学习到的思维策略，到了中学、大学仍然用得上。仔细比较加州小学数学教材和咱们的小学数学教材，不难发现前者是具有“数学脑袋”特征的人编写的，后者是具有“算术脑袋”特征的人编写的。数学脑袋，看重数学对象之间的关系。其思维特征是：结构性、关联性、集合性和抽象性；也就是能够以系统、整体性思维分析数学问题和非数学问题，不会把主要精力花在求人工计算速度和准确度方面。因为这个问题已经被计算机很好地解决。而算术脑袋不懂数学的本质是数学对象之间的关系，他们认为这些关系是可有可无的。他们看重的是人工计算速度和准确度。
中国的数学教育，绝大多数时候是具有“算术脑袋”特征的人当家。下面，一个是民国的课本封面，一个是改革开放前一段时期的课本封面，都叫“算术” ...小学数学教材的名称从“算术”两个字改成“数学”两个字，是1978年改革开放后的事情。现在虽然小学数学教材的封面写着“数学”两个字，但是，到底多少老师在教学中能让孩子去理解“数学”与“算术”的差异呢？看来，中国从“算术大国”迈向“数学大国”，还有极其漫长的路要走。
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