说明：本文只涉及小学生认知层面，不研究整个高深数学体系；只研究逻辑自洽，不证明问题对错！
本文一开始先证明一道题：π=4
证明：下图是一个直径为1 的正方形和外切正方形。
我们假如第一次在正方形的四个角上切去一个周长相等的正方形，由于切掉的正方形和保留的图形周长不变，因此，我们在有角的地方每次都切去面积相等的正方形，无限制的切下去，总有可能把原来边长为1的正方形切成越来越接近圆形，无穷切下去，正方形就变成了“圆形”。
这样，由于r=1，圆的周长C=2πd=2π×2r=4π。
这个结论就连小学生也知道是错误的，但是为什么看似有道理呢？
这就涉及靠有限的想象对无限的发展的矛盾，极限到底在哪里？极限概念有没有边际？从理论上讲，无论我们怎样切，穷其想象的切，切过的正方形的边长无限接近于圆，但它仍然是多边形，不可能是圆！误差如此巨大，原因就在这里！
我们看看旧版六年级上册教材所讲的“数学广角”《数与形》。
关于小学数学六年级数形结合一道题引发的争论
教材安排通过计算找到“分数和”的规律没有问题，让学生通过观察发现事物规律本身就是数学核心素养之一。通过例1的提示，学生们找到了规律：像这样的数（其实高中叫等比数列）后一个数的分母都是前一个数分母的2倍，按照教材上说的，“从第二个数开始，每个数是前一个数的1/2”，依次相加下去，发现两个数的和是3/4 7/8 15/16……，那么依次类推，第n个数的和应该是n-1/n或者是n/n+1。
这就是例2给出的“结论”！那么“最后”的数是不是“n-1/n”呢？这个数列无限加下去有没有最后一个数呢？
答案是没有最后一个数，它们的和应该是“n-1/n”，一点问题都没有！
例2所列出的有限项数的和到底是怎么得来的呢？通过研究，学生们总结，像1/2加到1/64它实际等于1-1/64=63/64，就是刚才的和！
教材“神之操作”来了：
男生说“这些分数不断加下去，总和就是1”，女生说“画图解决起来更直观”！
先说男生的答案，他的答案到底是怎么来的？n/n+1=1，或者n-1/n=1，就只能n=n+1=n-1才可能实现，这怎么可能？这小学生完全难以接受！就连成人也难以接受！
再说女生的想象，她势必忘了中国最著名的一句话，“一尺之槌，日取其半，万世莫竭”的道理，这是中国数学在“极限”思维发展中的最著名的论断，如果该女生判断的有道理，是正确的，人们也不得不接受π=4的事实！
小学生的形式逻辑思维远不如成人发达和成熟，他们更靠直观来理解事物，如果在数轴上无限分下去和在饼状图上无限分下去，就认为“无限趋近于1”就等于1，这流毒可就大了！
无限趋近于1到底等不等于1？无限趋近于0到底等不等于0？
教材编写者可能忘了引发第二次数学危机的争论，爱尔兰大主教贝克莱不是不懂数学和微积分的价值，他只攻击牛顿关于微积分的逻辑是否自洽，当时牛顿派无法自证，这场争论进行了上百年，关于无穷小概念的哲学讨论一直延续至今。
用这样抽象的问题来“糊弄”小学生，教材编写者是否有点儿离大谱了！
瑞士心理学家皮亚杰认为，成人具备“形式逻辑”思维，但现在不少人认为皮亚杰严重高估了人们的“形式逻辑”思维，有些人终其一生也不具备完善的形式逻辑思维，更别提小学生了！
我曾经写过文章，批判过这种严重超纲、且靠“无理想象”得出的结论！这种思想在严谨数学那里是致命的，这种靠无端猜测就得出数学结论的做法也是极其有害的！
想当年我在上高三的时候，学习了数学归纳法，用完全归纳法证明了上述题目，在上大学学习微积分的时候，第一个问题就是证明上述题目，理论证明它等于1，所以才“不得不”相信这个结论！
在小学数学里，在学习无限循环小数的时候，人们都在洋洋得意的证明0.9999……=1，但是对于小学生而言他们真的能懂吗？
1/3=0.33333……这问题小学生能懂，你问一个小学生，或者就是成年人，你做一道最简单的数学除法题，1÷1=？小学生和成年人或笑掉大牙，这问题还需要讨论吗？1÷1=1，永远是正确的。
但问题是：你口算也好、列除法竖式也好，你怎么能把1÷1=0.9999……
有人说，在0.999……和1之间你找不到第二个数！那么在0.88888……和0.9之间你能找到第二个数吗，是不是说明0.8888……=0.9？
最后一个问题就是圆面积的由来，现行教材都运用古代《九章算术》和刘徽的研究作为证据研究圆面积，把一个圆割成偶数分，无限割下去，就近似于圆面积，刘徽曾说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这与“一尺之槌，日取其半，万世莫竭”的话是否自相矛盾？能自洽吗？我不是否定刘徽的话，而是想说明，一个圆无限割下去，他就是长方形吗？如此难以想象的事情，想让小学生理解，这真是太“超纲”了！
在小学阶段我们主要研究自然数，或者也多少研究无限循环小数。在小学无理数只有一个π，能不能简单一笔带过，不搞那么复杂，可以吗？这是从小学生理解能力层面讲的。
还有就是关于π=3.14的计算，既复杂又难以演算，何必非得计算这么一个不精确的数？有人可能说学生不明白π可以代替数，这就又在胡讲了，小学数学已经研究用字母代替数了，到π这里反倒不行了？口口声声“弱化”复杂计算，这是不是有点矛盾论了？
争议和商榷：小学人教版数学教材六年级上册第62页一道例题
还有就是无限趋近于0的问题，“无限趋近”就是无限趋近，许多时候它永远也不可能等于0，这就是初中九年级要学习的双曲线函数，y=1/x2，x什么时候也不可能等于0，因为等于0，函数式就没意义了！
好歹《数学广角》中“数与形”在新教材中已经删除，这是明智之举！关于0.999……=1的问题也不是教材内容，只是有不少教师在学生那里“炫耀”而已。圆面积和圆周率π在小学教材还是少讲为好，不是不相信科学，而是要相信小学生的认知能力！
今天这篇文章就以暑假北师大版新世纪小学数学团队新教材培训刘艳辉老师的一段话结尾，她在“学与教方式的变革”的培训会上所总结：
所谓好的数学教材，就是“四个既要、又要、更要”：
1.既要教师好教，又要学生好学；
2.既要符合儿童成长规律，又要反映数学本质；
3.既要让优秀学生脱颖而出。更要保证每个学生达到基本要求；
4.既要尊重教师创造性的使用教材，更要助力普通教师上好每一节课。
这种对教材编写“既要、又要、更要”的标准值得欣赏，但一切内容还得从细，至少得符合儿童认知规律！
对于此，大家有什么意见建议，可以在评论区留言讨论。
