彩虹学堂‖圆锥与圆锥曲线:高中教材里那条被藏得很深的＂共用脊梁＂
学过高中数学的人都知道两件事：B版必修四有个“圆锥”，旋转体，顶点轴母线；选必一有个“圆锥曲线”，椭圆双曲线抛物线，一堆公式。但这两家到底有什么关系？为什么都带“圆锥”两个字？教材没明说，今天就把这条暗线扯出来。
01 圆锥自带一个固定角：α
圆锥是怎么来的？一个直角三角形绕一条直角边转一圈。转出来的那个尖点是顶点，底下那个圆是底面，中间那条竖线是轴，斜着的那圈线是母线。所有母线和轴的夹角都相等，这个角就叫α，也叫半顶角。它是圆锥自己的基因，固定不变，改不了。过轴的截面是一个等腰三角形，腰是母线，中线是轴，α就在这个三角形里量。02 截平面带来一个可变角：θ
现在拿一个平面去斜着切这个圆锥。切的时候，平面和圆锥的轴之间会形成一个夹角，这个角叫θ。θ是线面角，范围0到90度。它和α在同一个轴截面等腰三角形里比大小——过轴切一刀，得等腰三角形，截平面和轴截面交一条线，这条线和轴的夹角就是θ。选必一第二章章引言说：按“圆锥的轴与截面所成的角”不同，截口分别是圆、椭圆、双曲线、抛物线。这句话里的“轴与截面所成的角”就是θ。03 α和θ比大小，直接锁死e的范围
e是离心率，选必一2.5.2、2.6.2、2.7后都讲。它有两副面孔：一副是e=c/a，椭圆a²=b²+c²时01；另一副是PF/PH=e，动点到焦点距离与到准线距离之比为常数，01是双曲线。这两副面孔都和α、θ有关系。关系就一句话：α和θ在轴截面里比完大小，e的范围就定了。为什么？因为在轴截面那个等腰三角形里，三条线——轴SO、母线SA、截迹OC。α是SO和SA的夹角，θ是SO和OC的夹角。θ大于α时，OC在SO和SA之间。截平面只切到圆锥的一叶，截口闭合。闭合曲线的长轴2a和短轴2b满足a²=b²+c²，c小于a，所以e=c/a在0到1之间。这是椭圆。θ等于α时，OC平行于SA。截平面正好平行一条母线，截口不闭合，向一端无限延伸。e=1卡住这个临界点。这是抛物线。θ小于α时，OC比SA更陡，穿到对顶的另一叶。截平面同时切到上下两叶，截口分两支。实轴2a较短，但焦点要管两支，c很大，c大于a，所以e=c/a大于1。θ越小，e越大。这是双曲线。θ等于90度时，OC垂直于SO，截平面水平切。每根母线上截点到轴距离相等，截口是圆。a=b，c=0，e=0。所以整条线是这样的：α是圆锥自带的固定角，θ是截平面带来的可变角，两个角在轴截面里比大小，比完的结果直接锁死e的范围。e不是凭空冒出来的，它是α和θ比完大小之后，在解析几何那边的必然结果。名字同源，轴同源，α、θ、e三家共用——这就是圆锥和圆锥曲线之间那条被教材拆散、但始终没断的暗线。供稿：辽宁工程技术大学暨沈阳市第一四六中学追求彩虹未来社员25届李秀清
