01　原理说明

先看表格，随着角的弧度值逐渐减小，用弧度值代替正弦值和正切值所造成的相对误差和都在快速减小并趋于零。

下图是区间内的正弦函数和正切函数图像与图像的对比。可以看出，在接近的地方，三根函数图线已经不可区分。

严格的数学证明也不难，是高中物理竞赛或者大学高等数学的入门知识。这里简单说明一下：

在半径为的圆中，取圆心角（弧度），。该圆心角所对的弧的端点为和，圆心为。过点做圆的切线交延长线于点，容易看出：

代入面积公式得

约掉，同时除以，取倒数，得

由于、，故

类似的方法可以证明

这个简单的说明，用到了高等数学中的一个极限存在准则。

02　高中的案例

案例1　向心加速度公式

如下图所示为人教版必修二第六章第节“拓展学习：推导向心加速度公式”。

案例2　单摆的回复力

如下图所示为人教版选择性必修一第二章第节中“单摆的回复力”的推导。

案例3　双缝干涉公式

如下图所示为人教版选择性必修一第四章第节“干涉条纹和光的波长之间的关系”。

03　补充说明

值得注意的是，对于向心加速度公式推导中使用到的，这是严格的相等。在这个推导中，我们需要求的是瞬时加速度，需要的是切实的。

但是，在单摆回复力、双缝干涉的公式推导中，使用到的则是，这是取近似值。毕竟单摆是近似的简谐振动，不是严格的简谐振动，角度不能真的趋于零；双缝干涉中的角度类似。

由于本人知识有限，做事不细心，错漏在所难免，欢迎批评指正。

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