存款10w如何理财?用高中课本参透“钱生钱”的奥秘!人大附中名师打造,一本书搞定数学核心知识点+考点+思维框架

人教B版必修第二册第四章4.6节中有这样一道例题：

有些银行的存款是按复利的方式计算利息的，即把前一期的利息与本金加在一起作为下一期的本金，再计算下一期的利息。假设最开始本金为a元，每期的利率为r（r>0），求存x期后本息和f(x)的表达式。

第一期后本息和f(1)=a+ar=a(1+r)，第二期后本息和f(2)=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2，这样我们很容易得到f（x）=a(1+x)n。这个例子不难理解，上一期的本金和利息在新的一期都会产生新的利息，以此类推。

照这样的速度，根据指数函数的单调性，假以足够的时日，岂不是很容易就实现“财务自由”了？实际情况是怎样的呢？

《课本里不可不知的100个数学知识点》（高中篇）将带大家一探究竟。

作者崔鹏是人大附中数学名师，经验丰富，教学成果显著。

本书讲解了高中数学课本中的100个核心概念。概念出处部分给出了其在人教版A版、B版教材中的具体位置。概念解读部分给出了概念的准确定义。概念应用部分则展示了其在现实世界中的具体应用，让学生能够将理论与实践相结合。概念延伸部分进一步拓展了概念的应用范围，引导学生理解其背后的数学思想。最后，精心设计的例题可以帮助学生检验自己对概念的理解程度，并巩固所学知识。

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01

单利和复利

上述例题中的计息方式称为复利，也就是我们常说的“利滚利”。实际上，在银行的计息方式中，常见的有两种：单利和复利。

单利：利息仅基于本金计算，不会将已经产生的利息计入本金重复计息。每个计息周期产生的利息金额都是固定的，不会因计息周期数的增加而增加。

复利：不仅考虑本金产生的利息，还会将这部分利息加入本金中，以便在下一期计息时，利息是根据增加后的本金来计算的。这种方式使总利息呈指数增长，从而产生更高的总收益。

显然，两种计息方式存在差异。单利下，每期利息金额固定不变，总利息随计息周期数线性递增，形成等差数列；复利下，每期利息金额按几何级数递增，形成等比数列。举一实例说明：

现有本金10万元，年利率均为5%，存款期限30年。

单利下，30年后的本息和为100000×(1+30×0.05)=250000；

复利下，30年后的本息和为100000×(1+0.05)30≈430000。

显然，在相同利率和长期储蓄的条件下，存钱时选择复利更合适。

实际上，大部分银行的活期存款、定期存款及国债等低风险金融产品采用单利计息。理财类产品和部分基金主要通过复利计算收益，以增强长期投资吸引力。

但有一种情况例外。例如，小明在某银行定期存款10000元，存期为一年，年利率为1.1%（数据来自该银行当日官网）。如果到期后没有取出且由银行自动转存，那么第一年到期后的本息和10110元将作为第二年的本金；第二年到期后，本息和10221.21元将作为第三年的本金。连续转存5年后，最终的本息和为10562.23元。

如果他最开始选择存5年期定期存款，中途不支取，年利率为1.55%，那么到期后的本息和为10000+1.55%×10000×5=10775元。对比复利计息方式（年利率为1.1%，5年后本息和为10562.23元），在单利年利率为1.55%的条件下，5年后单利的本息和高于复利的本息和。对于同样年限的存款，银行通常对自动转存（按复利规则计息）的存款设定较低的年利率。

02

关于贷款

现实中的贷款业务常采用复利计息方式。

一个人向银行贷款A元，期利率为r，一共贷了n期，每期还款金额一样，那么他每期需要还多少钱呢？

针对这个问题，我们可以通过以下两种思路进行分析。

这两种思路的道理是一样的，第二种思路揭示了贷款中的复利本质。在第一种思路中，我们选择的还款方式是每期还款金额一样，都是x元，这里面实际上包含部分本金和根据剩余本金计算的当期利息，我们称之为“等额本息”。

除此之外，还有一种“等额本金”的还款方式，那又是怎么一回事呢？二者有什么区别？

03

等额本息与等额本金

等额本息：指贷款后还款人每期还款的金额固定，即每期（一般一期为一个月，下同）偿还的本金和利息总和是相同的，但本金与利息的比例是不同的。

等额本息是“本息和等额”。这种还款方式适用于收入相对稳定的贷款人。

等额本金：指贷款后还款人每期还款的本金金额固定，每期利息按期初剩余贷款本金计算并逐期结清，因此还款利息会逐期减少。

等额本金的每期还款额并不相等，而是“本金等额，利息递减”。这种还款方式每期还款额构成了一个单调递减的等差数列，适用于收入较高且能承受前期高还款压力的贷款人。举一实例说明。

按照等额本金的还款方式，小华需要偿还的利息总和为1950.00元；按照等额本息的还款方式，小华需要偿还的利息总和为1960.71元。如果仅考虑利息这一因素，小华选择等额本金的还款方式会更划算一些。这在人教B版选择性必修第三册第五章5.4节中有类似的讨论。

算了几笔账，大家大概知道了“利滚利”。我们回过头来看看这些“账目”背后的数学知识。无论是向银行存款还是从银行贷款，其中都涉及函数和数列模型，如我们熟悉的指数（型）函数和一次函数，以及等差数列和等比数列。文中举的例子，有关银行的利率都是真实数据，实际的存款额和贷款额可能会更多，计算结果的差距可能会更大。但是，这些“账”总能被算得清清楚楚，这得益于数学公式的严谨性。

可能你在现实生活中还没有这样的需求，但当有一天接触到银行的存款或借贷问题时，不妨利用学过的公式算一算，这样你能体会到“生活中处处有数学”，更能体会到“数学源于生活，又服务于生活”的道理。

趁着年纪还小，好好学习数学吧。还有，高利贷，千万碰不得！

版式：Xman.

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