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小学数学教材中缺失的一个重要知识点:位值原理

2026-03-23 14:06:30

在小学数学教材里面，有一个重要的知识点的缺失，导致老师在教学过程当中，以及孩子学习过程中觉得有一些别扭。这个知识点，大家天天在用，甚至一二年级的数学考中几乎次都会考，但是可能很多家长可能听都没有听说过。

可能有人要说了，你既然说一二年级就接触，怎么会没听过？这不是自相矛盾吗？其实并不矛盾，因为在小学的数学的教材中，它至至终，都没有提及这个名词。

就有点像一些歌红，人不红一样，他（她）的歌被大家传唱，但知道大家只知道某首歌，却不知道这首歌的原唱姓谁名谁。如果你不信你可以网上查一下，这样的歌还不是一首两首。

同样的我们说的这个知识点，可以说是地球人天天都在用，但有太多太多的人不知道它叫什么名字，它就是学习奥数第一节课必学的——位值原理。（本文篇幅较长约4200字）

举个例子谁都知道，比如1234它是由1个千，2个百，3个十，4个一组成的，这就是数位值原理。有人要说了，啊？就这？那这不是明摆着讲过的吗？一二年级从最低年级就开始讲了。没错，是讲过的，可是我们的教材又不没有把它专门的、系列的出一个章节，系统地、郑重其事的讲。所以很多人听到这个名词很陌生了。而它是学习数论的第一课必学的内容。离开了它和进制，可以说数论的学习将无法进行。

加法和乘法的交换律、结合律、分配律是专门的系统的，有一个很大的章节来讲。在书上也是白纸加粗的黑字印出来的章节，而且老师也花费了大量的课时篇幅去讲解它。让大家加以练习，孩子们也非常认真的去学。所以多年以后，大家为人父母，哪怕没有从事教育行业，我们仍然能说出这是交换律、结合律、还是分配律来。原因是因为我们很认真的讲了那节。

可是位值原理包括进制这部分，只是在某些地方如蜻蜓点水一般地轻描淡写，一带而过。说某一个数是由多少多少组成，并没有把它以专门的章节来郑重其事地正式的介绍。我觉得这对它来说有点不公平。相当于一个很重要且能干的人，大家一直在用他的劳动成果。然而却没有给他合理的名分，甚至少有人知道他的名字。

其实位值原理作用非常大，它渗透到我们整个的数字世界里面。所以导致不少孩子对于数的构成不是系统的，不是非常严谨的知道每个数它是怎么构成的？想像一下，假如把位值原理，就像三大定律一样，认认真真的给大家介绍一遍，我相信大家对数的认识会大不一样。

4321用位值原理展开其实就是4×1000+3×100+2×10+1×1，然后把它们加在一起。就是你所说的那些东西，把它组合在一起，这个所谓的组合就是用加号把它们全部汇总起来。所谓的位，就是这里的千位、十位、百位、个位，也就是大家说的数位。

位值其实有两重含义，一个是它本身的值，还有一个就是它所在的位数代表的值。比如说千位上的4，代表的就是4个一千。同理百位上的3对应的值是3个百。那如果百位上是0，是什么意思，这个其实也简单，说明百位上是0个百。所以不同数位上数字（除了0以外）哪怕数字相同，但代表的数大小也是完全不一样的。它们代表的值会相差成百上千（甚至更多）倍。

我们为什么要认认真真的把它学一遍呢？举两个具体的例子，如果有了它来作为讲解工具的话，讲解起来就顺畅很多，大家也容易理解。

不少孩子的计算不过关，除了平常说的粗心熟练度不够外，其实还有很大一部分原因是，没有了解计算背后的本质。如果去深入了解一下进制与位值原理（其实也好理解），你的计算会上一个台阶。

比如说在做竖式加法的时候，我们通常要求数位要对齐。这个对齐的内涵对于我们都是整数的时候，我们对齐是指它的个位数要放在一个位置。可是当我们做小数加法的时候，我们要求的是小数点要对齐。

为什么整数加减计算的时候是要求末（个）位对齐。而小数加减的时候要求小数点对齐，而不是以小数的最末尾对齐呢？

我们要跟孩子们彻底讲明白，他们才不会犯错误，对吧？如果我们用未知原理来讲的话，就非常之清晰。

比如3000+5000，个位对个位，十位对十位，百位对百位，千位对千位，为什么要作为这样的对齐？就是因为这里的3代表的是3个一千，这里的5也是代表5 个千，所以当我们把它加在一起的时候，它就是3个1000加上5个1000，我们可以提个公因数1000出来，也就是有8个一千。

所以我们用位值原理去解释，就非常的简单。同样的道理，为什么我们小数的加减法要小数点对齐？比如：112.3+35.61，小数点左边我们都知道都是个位，所以大家都是多少个1，在小数点的右边第一位呢？都是十分位，它都是多少个0.1，或者多少个1/10。所以大家提取公共的1/10，你看这里有3个，后面的加数有6个，它们加起来总共就有9个1/10。我们就知道这个算出来的9对应的在十分位。所以它就要求我们小数点对齐，而不是最后一个对齐。

我们计算的基本原理，在算理上它是一个非常重要的基础原理。可是由于缺失，我们就讲不了很多算理的事。所以小学数学老师基本上就教大家怎么算，但不教大家它背后的原因。老师为什么不教？因为这个东西教材本身就没有。即使老师想教，没有办法，也教不动。除非极个别老师特别热心的给孩子们，把位值原理从小给他介绍一下。除非老师特别认真的去这样做，可是老师一这样做，有些家长又觉得好像是增加了孩子的负担了，所以很多老师慢慢的也就不讲了，毕竟多一事不如少一事。

但学习奥数的孩子，负责任的老师，第一节课（部分）必定是进制与位值原理。相比较将一个数整体设为x而言，将这个数每个数位上的数字，用不同的字母分别假设出来，当然这里的字母代表的数字有可能相同，但最高位字母代表的数字不能为0。在很多时候有非常明显的优势。比如说一个两位数，将数位上的数字进行对换位值，得到的新数数比原数大63，问原来的两位数是多少？这类题你不用位值原理，很难解出来。而且容易遗漏答案。

再者我们常用的一些数的整除判断，是不是有很多人只记得结论，却不知道是怎么来的？其实就是利用位值原理去展开变形推导出来的。当然不同的变形方式，得到的公式，有些简单有些复杂而已。

第二个非常经典的案例告诉我们，位置原理的重要性。我们在学小数乘法（以及除法），会讲到一个非常重要的结论。一个数如果乘上100，我们就小数点右移两位，乘上1000就右移三位，以此类推。如果除以100，我们就左移两位，大家对这个结论是不是耳熟能详？这个东西变成了孩子们的一个口诀，可是你要问他为什么？相信大多数孩子是回答不了。回答不了也很正常，因为我们没有学位值原理。

我们光知道小数点往右或往左移多少位了，可是为什么这样呢？大家有没有思考过这个问题啊？好，比如123.45乘以100，我们如果用位值原理把这个数写下来的话，你会发现123.45，其实就是1乘以100，加上2乘以10，加上3乘1，加上小数部分4乘上1/10，因为它的十分位，再加上5乘以1/100。好，这些东西加在一起就是123.45的位值原理的表达方式。如果它乘上100，为什么是小数点往右移动两位？

到这就不得不给大家讲第三点，有了原理以后，我们的整数系统和小数系统其实就可以统一了，它们有一个统一的表达式。比如说abcd.ef...，这个每一位，千位、百位、十位、个位、十分位、百分位，它整个统一写成a×1000+b×100+c×10+d×1+e×1/10+f×1%，你就可以一直写下去.....

所以任何一个带小数点的，无论是整数部分还是小数部分，都可以用这样统一的表达式来表达。这个时候我们整数和小数就形成了有机的整体。这样不会把整数和小数相割裂开。

但是现在的教学出现一个毛病，就是孩子整数是整数，把小数当小数，变成一个很特别，甚至是另类的数。它们之间形成了强烈的隔阂。他认为整数就是整数，小数和它之间是风马牛不相及的两种事物。

其实整数和小数它们是有机的统一。整数只不过是它的部分。

比如说1234可以写成1234.000，这样的话，我们其实是一个统一的表达形式。这就是我们缺失了它以后，第三点整数为小数，没有办法告诉大家它是一个统一的写法是吧？

好，回到刚才这个乘以100这件事情。如果123.45乘以100的话，我们可以用分配律，百位上的1乘以100以后，就变成了1万。十位上的2表示的是，2×10再，乘以100以后就变成2×1000，这个3乘以1，现在就变成了3乘以100，这个4呢，原来是乘上1/10，乘上100以后就变成了乘以10；而5个1/100乘以100，就变成5×1。利用这个我们来反向来写位值原理，你看这结果是12345，它就是我们的小数点右移两位。

就这么地为什么右移两位，就是因为我们原来是乘100的。你乘上它以后，相当于我们变成乘以万。乘以100，就意味着我原来是在百位的一个东西，你要跑到万位去。是不是向高位跳了两级？每个数位都要向高位跳两级。

所以小数点向右移两位，相当于每个数位向高位跳走两位。同理，如果是除法，比如说除以100，就是向左走两位，就是这个道理。我们用位置原理就可以把它解释得很清楚。

可能用位值原理来解释这个事情，确实合情合理，甚至是很丝滑的，但现在来讲这个东西角度很刁钻，不知道该怎么样给小学生去讲这件事情。所以我们用简单的例子来加以说明，小学缺失的位值原理，它有多么的重要。实际上这位值原理是整个算术里面，数字系统里面非常基础的原理。

我们学习过加法交换律、结合律，其实多个整数相加，它们相同数位上的数字也是可以交换的。可能有人说，这有什么用？其实是有用的，比如做竖式谜，比如做一些简便计算都是用得着的。

再举个例子，计算：1234+2341+3412+4123=？相信很多同学在做拓展题有遇到过，不知道大家是怎么做的?是从左往右一步步计算，还是怎么算的呢？

我想很多同学都背过这道题，直接用（1+2+3+4）×1111=11110。你要他解释为什么，他可能就说不清了，可能会说老师教这么教的。

其实如果你去列竖式，你就会发现，这四个数的竖式千位、百位、十位、个位上的都有4+3+2+1,所以我们可以将这个算式变形一下。又或者根据位值原理将相同数位上的数字进行位置互换，这样并不影响它们和的结果。你会发现变成了1111+2222+3333+4444。原因是每个数字在千位、百位、个位和十位都出现过一次。然后提一个公因数1111出来。就可以简便计算了。

这位老师说，位值原理我觉得不应该不讲。编教材的人可能考虑的是这个东西出来以后，孩子是否能够接受的问题？但实际上你讲一个数是几个千几个百组成的时候，他已经已经接受了。然后你只是把它形成这样的一个表达式，你只是多这么一步而已，小孩子他同样可以接受得了。

大家也可以感受到，如果有了它的话，孩子对整个数的理解，还有包括一些原理的解释，就会变得顺畅很多，对整个数学的理解会上升一个维度。

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