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摘 要: 中考压轴题以体现对学生数学核心素养的考查为导向，其不仅具有考查功能，还具有良好的教学价值．在教学过程中，除了讲解多样的解法以外，还应挖掘问题的本质结构，立足课标，回归课本，让学生汲取题目中的基本思想，提炼结构，提升自身的数学核心素养．

关键词: 压轴题; 数学核心素养; 基本模型

1 试题呈现

例 1 

如图 1，已知 AC，BD 为⊙O 的两条直径，联结AB，BC，OE⊥AB 于点 E，点 F是半径 OC 的中点，联结 EF．

1) 设⊙O 的半径为 1，若∠BAC= 30°，求线段 EF 的长．

2) 联结 BF，DF，设 OB 与EF 交于点 P，

①求证: PE =PF;

②若 DF =EF，求∠BAC 的度数．

( 2020 年浙江省杭州市数学中考试题第 23 题)

2 试题评价

2．1 立足课标，层次分明，考查能力

本题是 2020 年浙江省杭州市数学中考压轴题，是一道几何综合题．从知识层面看，本题考查了圆的基本性质、三角形的中位线、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质与判定等知识．

《义务教育数学课程标准( 2011 年版) 》指出，对基础知识和基本技能的考查，要注重考查学生对其中所蕴涵的数学本质的理解，考查学生能否在具体情境中合理应用．本题的第 1) 小题起点低，注重对几何基础知识和基本技能的考查，考查学生能否正确运用圆的基本性质、等边三角形的判定和性质以及合理添加辅助线解直角三角形等基础知识，难度适中．第 2) 小题添加线段后第①问进一步探索一般情况下的结论，思维量大，综合性强，考查学生的推理能力和对几何知识的综合运用能力; 第②问继续把条件特殊化，考查学生的作图能力和综合运用能力．本题条件的设置由简单到复杂，问题的设置由易到难，具有一定的区分度和层次性．

2．2 一题多解，多解归一，凸显素养

本题中蕴含了丰富的基本图形，解法多样，特别是第 2) 小题第①问，学生出现了 30 多种不同的做法，既可以利用中位线构造全等三角形或平行四边形求证，也可以从两组共线的线段比出发寻找基本模型，构造相似三角形求证，还可以采用面积法解决问题．不同的方法体现了学生不同的思维层次和思维方式，也反映了学生在综合运用数学知识解决问题时数学核心素养的差异．对多种解题方法进行分类可以发现，这些方法又能多解归一，回归到基础模型，考查数学的本质．在求证线段相等的过程中，需要把所求证的线段转化到全等三角形或相似三角形中，这都体现了转化与化归的思想．而第 2) 小题第②问，由于题图( 即图 1) 是非标准图，对学生思维要求较高，需要学生重新作图，体现了试题的区分度．作为中考压轴题，本题实现了从知识立意到能力立意、从能力立意到素养立意，考查了几何直观、推理能力和综合运用有关知识解决问题的能力．

3 解法赏析

以下主要对第 2) 小题的两个小题进行分析．

3．1 关于第 2) 小题的第①问视角 1 构造全等三角形．

要证明两条线段相等，可添加辅助线构造线段所在的三角形全等．

证法 1 

如图 2，取 OB 中点 G，联结 FG． 由OE⊥AB 于点 E，可知点 E 是 AB 的中点，于是 OE

是△ABC 的中位线．因为 F 是 OC 的中点，所以 FG也是△OBC 的中位线，则...类似地，联结 EG，通过证明△OPF≌△GPE 也可以获得结论 PE = PF．当然，同时联结 EG，FG，通过证明四边形 OEGF 为平行四边形，可得对角线OG 与 EF 互相平分，进而得到 PE =PF．

未完待续....

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