一道简单几何计算题——初中教材删掉的合分比定理其实是个好东西
在群友 @小米百合 的公众号 @数形直通车 看到一道几何题，据说是名叫Omid Motahed的数学家提供的，好奇心使然，随手一搜，只找到下面这位，更像是个程序员转行的数学教师，罢了，姑且存疑。如图所示，三角形ABC是钝角三角形，∠C为钝角，中线AM = 11，角平分线AD = 7，高线AH = 5，求三角形ABC的面积。
∠C是个钝角，这一条件直接拉低了本题难度，否则还得讨论M、D、H的相对位置。AH是高，图中一堆直角三角形，果断勾股定理走起。要求三角形ABC的面积，高AH已知，求出对应底边BC即可，考虑到M是BC中点，不妨设BM = x，则AB² = BH² + AH² = (4√6 + x)² + 25AC² = CH² + AH² = (4√6 - x)² + 25上面的方程当然可以直接去分母强行化解，但是大可不必。肉眼可见，方程分子分母结构相当规整，此时轮到合分比定理出场。这就是合分比定理，证明相当简单，这里不做赘述，现行北师版初中课本删掉了这个定理，属实莫名其妙。瞬间可得x² = 73，故x = √73，三角形ABC面积为5x = 5√73。
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