高中数学新教材沪教版介绍

（一）概述

      新课标前，上海地区是单独大纲、教材。高中课改终于来到了上海：根据教育部颁布的普通高中课程标准，上海市编制了除统编科目语政历外的其他科目。

      高中数学教材由上海教育出版社出版，由设在复旦大学和华东师范大学的两个上海市数学教育教学研究基地联合主持编写，主编由李大潜院士、王建磐教授担任，副主编是应坚刚、鲍建生。

注：值得说明的是，李大潜、王建磐、鲍建生分别是义务教育数学沪教版、华师大版、苏科版的主编。

       据悉，该套教材送审时应为五本，包括必修3册、选择性必修2册，应是对应高一、高二各两个学期加高三第一学期。最终定稿时变为7册，数学建模教材单独形成必修和选择性必修各1册。

       值得一提的是，沪教版高中数学的前言，很有意思。

（二）数学教学的必要性

       从小学到初中高中，从本科生到研究生，都有数学课程。“数学是一类常青的知识，是一种科学的语言，是一个有力的工具，是一个共同的基础，是一门重要的科学，是一门关键的技术，是一种先进的文化，是一类独特的美学。”

      学生为什么要学好数学，教师为什么要教好数学？数学对一个人的培养与成长有重要作用，认真的数学学习和严格的数学训练可以使得学生具备一些特有的素质和能力。

     “数学的概念、思想、方法和结论从根本上来说，来自两个方面：既来源于现实世界的实际需求，亦来源于数学内部的矛盾运动。其中，现实世界的实际需要是最初的、本源的、第一位的。”

（三）编写的指导思想

（1）知识、能力及素质有机结合的统一体：通过整个培养过程对学生认真传授知识、严格加强训练，使学生通过耳濡目染、身体力行实现提高素质的要求。

（2）坚持基础教育的定位：中学阶段的学习为今后成长和发展奠定坚实基础。

（3）一个有机联系的整体：编教材不仅仅要摆平一些知识点，而要重点照顾知识点之间的有机联系，注意知识的整体结构，避免知识的碎片化，从根本上改变单纯根据“知识点”来安排教学的做法。

      上图是沪教版数学的章节框架，包括预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动几个板块。尽量将有联系的内容整合一体呈现、并注重与其他模块的关系。

（4）“少而精”、“简而明”：精心选择与组织教材内容，抓住本质、返璞归真，以简明清晰的语言展现教学的基本内容，给学生以明快清新的感受、能更深入地领会数学的真谛。真理总是朴素、简明的，教材内容不应以多取胜，越是抓住本质、简明扼要，越能显示编写者和教师的水平，学生才能真正学到手、学得深入和主动。

（5）符合中学生的认识规律：避免从抽象的概念出发，尽可能贯彻“从具体到抽象”、“从特殊到一般”，再回到“具体与特殊”的原则。

（6）激发求知欲：对中学阶段讲不清的内容，不要为“过关”而“蒙混”，给学生造成先入为主的错误认识，而是要激发他们今后深入学习的迫切愿望和积极性。

（7）学习评价：数学是一门重思考与理解的学科。数学学习的好坏，要看是否：理解深入、运作熟练、表达明晰，关键是深入理解。(此处运作泛指运算及推理等)

（四）整体说明

      沪教版高中数学的教材内容与课程标准存在较多不一致。根据主编的说法：本套教材体现“国家标准，上海特色，国际标准”；基于国家课程标准，但同时也对上海二期课改的经验有所继承，对东部发达地区的国际化大型城市这一特点有所关注，对数学链条上缺失的关键节点有所弥补。

      实话说，20版课程标准最终确定的教学内容是有所妥协的。模块学分的限制，基于03版文/理内容的难度中和调整，删除了诸如参数方程、极坐标系等内容，特别是具有上海特色的矩阵行列式内容也被彻底删除。

       从编写内容上对比其他几个版本：人教A版延续以往编写风格、基本围绕课程标准框架进行修订；人教B版以教学的视角、在课程标准的基础上做好补充和衔接；湘教版充分利用扩展阅读等方式拓展课程标准以外内容；苏教版主要将一些二级定理放入例题、习题；北师大版、鄂教版则相对较为传统。

（五）必修

（1）第1~2章为预备知识内容方面。

      相较于以往教材，集合是作为数学语言来学习的，因此教材正文中并没有介绍“n元集合的子集有2ⁿ个”、“集合运算的分配律”以及“德*摩根律”和“容斥原理”等内容。

      “常用逻辑用语”章节形成一个尽可能自洽的教学体系，逻辑学意义上的“闭命题”（基本上可以理解为“能判断真假的、不带有变元的陈述句”）被称为命题，逻辑学意义上的“开命题”（“含有变元的陈述句”）被称为“陈述句”，而把充分条件和必要条件用两个“陈述句”之间的推出关系进行定义。单独设置“反证法”章节，将“全称量词命题的否定、存在量词命题的否定”等内容融入。

       “等式与不等式”以一元二次不等式的求解为基础求解其他不等式（包括分式不等的求解、含绝对值不等式的求解等），突出等价变形、化归思想，强调不等式之间的联系和转化，培养分类讨论的思想。不同于课程标准的内容安排，直接从不等式性质出发来研究和处理一元二次不等式的求解，而非借助一元二次函数来求解（用函数的观点求解方程和不等式安排在第5章），从而切实加强代数教学。将平均值不等式、常用不等式和三角不等式统称为基本不等式进行教学，特别是对三角不等式予以突出预留1课时。

（2）第3~7章可视为函数板块。

       分别先用一章的篇幅讲授幂、指数与对数以及三角学的内容，然后再介绍对应的函数。具体的幂、指数及对数函数à一般的函数概念à三角函数，按照从具体到抽象再回到具体、“从特殊到一般”，再回到“具体与特殊”。

       采用“分析回顾、适当拓展”的方式，通过类比思想推广定义有指数指数幂及实数指数幂，并给出幂的基本不等式。

      通过“对数运算是指数运算的一种逆运算”角度出发，指出“对数函数是指数函数的反函数”，从本质上阐明对数函数与指数函数的关系。5.4章节单独教授反函数内容，作为选学内容。

      通过数学抽象和直观想象重新建构了角及其度量方法，以及相关概念并展示了同角三角关系、诱导公式等内容。通过数学抽象和逻辑推理，在得到两角差的余弦公式基础上推导二角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，半角的正弦、余弦、正切公式以及和差化积与积化和差公式，并在“探究与实践”中安排了万能代换公式的推导、“课后阅读”中安排了三角变换公式简史。

      区别于第6章静态地将正弦、余弦和正切作为比值进行研究，第7章从动态的角度对正弦函数、余弦函数和正切函数加以研究。

（3）第8章平面向量与第9章复数

      此处首先说明一下，上海二期课改时“向量”作为服务于其他数学内容的工具进行学习，分布在初中八年级下&九年级上、高中二年级上&拓展等四册教材（不考虑单独的拓展课程教材：平面向量与几何、立体几何涉及相关内容，如下图）。

      本套教材将向量作为独立存在意义学习的内容，分为平面向量和空间向量系统阐述，而平面向量内容可以看成平面解析几何的前奏。通过力、速度、位移等物理背景的量的分析，建立向量的最初直觉，并给出描述性定义和几何表示。继而介绍了向量的线性运算和数量积。最后把向量在直接坐标系的分解作为情境引入，但马上回来先给出向量基本定理，建立起向量分解理论的基础，把向量的正交分解作为向量分解的特例引出而回到坐标分解。

      解三角形的内容，原本放在这一章节的，现已移入第6章“三角”，包括正弦定理和余弦定理，并安排了海伦公式和“三斜求积”公式的等价性证明。

      “平面向量”章节与“复数”章节有较密切的联系，复数的引入用了一个简明的方式，运算先行、单刀直入地介绍复数的四则运算，而相关概念和理论框架随后逐步完善。这次将复数的三角形式列入教材，但列为选学内容。

（4）第10~11章空间几何

      采用先研究空间直线与平面位置关系后研究简单几何体的编排方式，强调研究几何体的基础、符合逻辑顺序，也保持与原有编排顺序的一致。

（5）第11~12章概率与统计

       “概率初步”及后续的“概率初步（续）”，其内涵、风格、处理思路以及表现方式均有很大的不同，研究的是随机现象所蕴藏规律的数学理论。后续的“计数”章节与概率有相当密切的联系。

      “统计”章节更关注真实、有意义的统计活动，前5节按照一个统计活动的逻辑顺序展开：明确研究对象；反映统计活动的出发点；用样本推断总体的必要技术；将获取的数据可视化；统计活动的核心——估计。在第6节以一个较为完整的统计活动作为典型案例进行经历全过程。

（六）选择性必修

（1）第1~3章几何板块

     “平面直角坐标系中的直线”（初版为“坐标平面上的直线”）、“圆锥曲线”、“空间向量及其应用”这三章属于解析几何的板块。

      数学越是发展，处理问题也是简单，人们认识世界及改造世界的能力也会相应地加强。

（1）在一个坐标系下所得到的结果，只有与坐标系的选取方式无关，才能显示真正的几何性质；

（2）选取最合适的简单坐标系进行推导和计算；

（3）坐标系是我们处理几何问题所借用的一个手段和工具，灵活地选择得心应手的使用，思想上绝不能僵化。

      “曲线方程”的概念是平面解析几何理论的支柱，它在教材中反复出现、不断深化。第2章第5节是“挂靠”在这一章节的内容，浓缩了平面解析几何的三个重要主题：求轨迹方程，参数方程和极坐标方程。

      本套教材虽然加强了立体几何的演绎体系，使得立体几何可以不依赖向量而发展。“空间向量及其应用”是对“平面向量”的延续，引入的初衷是利用空间向量处理立体几何问题，降低立体几何学习的难度，特别在第3.4章节集中系统说明了应用。

（2）第4章数列

      本章节以“递推”的思想贯串起来。先讲等差数列与等比数列这两个比较容易理解的具体的数列，用递推的方式定义数列，介绍一般数列的概念、通项公式、前n项和公式等。从算法的角度介绍了用迭代方法求平方根的迭代序列。数学归纳法，也是一个递推过程，是完全归纳法，是演绎推理的重要手段。

      这里值得关注的是，数列的极限，在无穷递缩等比数列求和公式的推导和迭代法求近似值过程中都要用到。但是，无论是这一章节的数列极限还是下一章节的函数极限，仅给出描述性的定义，点到为止，体会其思想。

（3）第5章导数及其应用

      导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念。导数概念是依赖极限建立起来的。本教材通过现实情境和几何直观，建立起朴素的极限思想，并在此基础上直观给出导数的概念。因此只能算是一个科普式的入门。

（4）第6~8章概率与统计

      “计数原理”章节讨论的是有限集合元素个数的计数问题，并作为在古典概率中的应用。第7、8章节是前序第12、13章节的延续，涉及条件概率、随机变量和分布等，并在单一变量数据的统计特征基础上研究来自同一对象的两个变量的成对数据的统计相关性。

       值得注意的是，第5、7、8章节对于上海数学教育是较大的扩充内容，触及三个不同学科（微积分、概率和统计）巨大冰山的一角。教材主张“混而不错”的原则，过程可以跳跃、简略、“非数学化”，但结果的表达必须是正确和严格的，要体会概念的精髓、学科的基本思想和方法。

（七）数学建模

      根据送审和最终发布来看，沪教版是唯一单独分册（且还分2册）的版本。教材所编写的有关数学建模的材料，最终只能以分册的形式单独排版，仅供有选择性的采用或参考。按照主编的说法，今后还应编出新的材料来加以补充或替换，不应该是一成不变的。

      值得注意的是，高中阶段的数学建模活动与数学知识体系的发展并无直接关联性，是学生运用已学过的数学知识解决实际问题，一般不增加新的知识点，但要求安排一定课时专门用于此活动。

      数学建模的特点是面对一个现实问题建立起数学模型，是没有一个固定的模式可套用的，具体问题需要什么样的模型、什么样的输出结果都是结合实际情况而定。对此，教材专门设置“引论”进行说明，该内容重要。

参考资料：

1.李大潜关于上海市新编数学教材的一些说明

2.普通高中教科书数学（沪教版，20课标版），必修第1~4册、选择性必修第1~3册

3.普通高中教科书数学（沪教版，20课标版），教学参考资料，必修第1~4册、选择性必修第1~3册