上一讲，我用赵爽的内外弦图不仅完成了勾股定理的证明，同时又巧妙构造弦图证明初中几何才涉及的射影定理。今天我再带大家用小学生都理解的方法证明相似三角形对应边成比例定理。当然在证明这个结论之前，我先给大家做个铺垫：用等积代换和共边定理证明平行线分线段成比例定理。 刘嘉老师的新书《几何探赜—面积计算中的比与比例》对共边定理以及面积法讲解非常透彻。对小学和初中平面几何兴趣的小伙伴非常推荐大家好好看看这本书。
有了这个关键的铺垫结论，我们就可以完全攻克相似三角形对应边成比例定理的证明。先来看第一步如何证明平行线分线段成比例定理。我们可以打开人教版九年级的教材，大家会惊喜地发现这个关键的铺垫结论是通过所谓不完全归纳探究出来的，这个结论被作为一个既定事实加以引入。
说实话对于任何一个热爱数学严格证明的同学来说，这一所谓既定事实都是完全无法接受的。所以我决定给大家介绍一个对于小学高年级都能理解的证明方法。 这个方法最核心的思想就是把线段间的比例关系转化为面积之比，然后做一次等积等量代换，最后再把面积之比转化为线段之比就证明了书本上通过所谓不完全归纳得出的平行线分线段成比例的结论。
有了上面这个结论，我们就可以来证明相似三角形对应边成比例定理。其核心方法方法还是面积比和线段之比的转化，使用到的重要理论依据还是共边定理的山峰结构和风筝结构，这两种结构的共边定理推导分别用到了比例式中的等比性质。 我们继续用比例的等比性质还可以得到推论2：相似三角形周长之比也等于对应边之比。结合同一法还可以推导出相似三角形对应边成比例的逆定理：若一条直线截三角形两边所得线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
你看看是不是小学生也是可以轻松拿捏初中平面几何的难点：相似三角形？
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